Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
движения всегда соответствуют нормальные перестановочные соотношения, в
которых поля, описываемые двузначными представлениями, антикоммутируют
между собой на пространственно-подобных интервалах и коммутируют с
полями, описываемыми однозначными представлениями, а последние
коммутируют между собой. Однако в зависимости от выбора выражения для
плотности энергии могут существовать и другие возможности, но все могут
быть приведены к нормальному случаю с помощью преобразования полей,
указанного Клейном (разумеется, неунитарного) для одного частного случая
[27].
В последнее время были предприняты попытки придать новую форму самой
теорий поля. Из них наибольшую известность получили прежде всего работы
Лемана и др. [28], затем Уайтмена и др. [29, 30].
Первая работа оказалась более полезной (если можно применить здесь это
слово), чем более общая вторая, однако нам, несомненно, следует отдать
должное выдержке и мужеству Уайтмена, доведшему до конца глубочайший и
труднейший математический анализ проблемы.
В этих общих формах теории можно также поставить вопрос о СРГ-
инвариантности. Оказывается, что удовлетворительное рассмотрение и
решение этого вопроса достигается в схеме Уайтмена [31].
Менее удовлетворительное, но возможно более интересное решение получает в
этом формальном аппарате проблема спина и статистики. Поскольку поля
Уайтмена, по-видимому, сначала не имеют ничего общего с частицами, то
можно задать только вопрос, коммутирует (или антикоммутирует) данное поле
с комплексно-сопряженным или нет?
Это, как обычно, опять зависит от характера преобразования поля. Обычно
эту проблему также принято называть "связью между спином и статистикой".
Она рассматривалась Бургойном [32]. Если вслед за Леманом и др. [28]
ввести частицы, накладывая определенное требование на асимптотическое
поведение операторов поля, то из неправильных слабых перестановочных
соотношений простейшим способом следует, конечно, уничтожение
рассматриваемого поля.
140
Pec Иост
Упомянутое выше исследование Людерса [26] пока еще не переведено на язык
этого общего формализма теории.
Наконец, следует указать еще на один недостаток: электромагнитное поле,
взаимодействующее с заряженными частицами, не укладывается
непосредственно в формальную схему Уайтмена. Именно оно требует введения
весьма специальной индефинитной метрики в пространстве состояний [21].
Правда, это обстоятельство не отражается на теореме СРТ (где дефинитная
метрика используется несущественно) и на статистике фотонов, но оно может
повлиять на статистику заряженных частиц, поскольку они описываются
полями, неинвариантными относительно градиентных преобразований.
Наибольшую ясность могло бы внести, по-видимому, последовательное
рассмотрение предельного случая, возникающего при условии, что масса
фотона сначала предполагается малой, но отличной от нуля, и затем
устремляется к нулю.
В части II я пытаюсь дать по возможности элементарное, но полное введение
в обобщение теории Уайтмена, необходимое для исследования СР Г-
инвариантности и связи между спином и статистикой.
В § 1 сопоставляются свойства действительной и комплексной группы Лоренца
в той мере, в какой они потребуются в дальнейшем, а в § 2 кратко
напоминаются основные свойства VF-функций. Для точного обоснования теории
вакуумных средних необходимо обращаться к литературе [29, 30]. Наиболее
важный § 3 содержит доказательство теоремы (для наших целей
фундаментальной) о том, что вакуумные средние инвариантны относительно
комплексных преобразований Лоренца. В § 4 характеризуются действительные
точки регулярности 1И-функ-ций. Наконец, в § 5 и 6 приготовленный ранее
вспомогательный аппарат применяется к проблеме СР Г-инвариантности и
связи спина со статистикой.
II. СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
§ 1. ОДНОРОДНАЯ ГРУППА ЛОРЕНЦА .
Действительная однородная группа Лоренца L состоит из таких
действительных линейных преобразований А над действительными векторами ?=
(?°, ?2, ?3), которые оставляют
з
инвариантной форму ?2 = (?0)2- ^ (?fe)2.
k=zl
Принцип Паули и группа Лоренца
141
Если через Л обозначить также матрицу линейного преобразования, а через
Лт- транспонированную матрицу, то преобразования Лоренца характеризуются
формулами
1 0 0 0^
,0 0 0 -1,
Отсюда следует, что определитель преобразования Лоренца равен ±1. В
соответствии с этим L распадается на L+(определитель |А| = t 1) и L_
(определитель |Л| = - 1), причем L+ снова образует группу. Для нас
существенны следующие инвариантные конусы:
1) Конус времени подобных векторов ?2 > 0; он распадается на передний
конус V + (?0 > 0 и ?2 > 0) и задний конус V_(l0 < 0 и ?2 > 0).
2) Конус нулевых векторов ?2 = 0 и ? Ф 0; он тоже распадается на Аг+(?о >
0 и I2 = 0) и N_(lo < 0 и ?2 =0).
3) Нуль-вектор ?=0.
4) Боковой конус, состоящий из пространственно-подобных векторов ?2 < 0.
Поскольку A?L+ преобразует передний конус либо в самого себя, либо в
задний конус, то сама группа L+ опять распадается на собственную группу
