Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
статистике Бозе - Эйнштейна. Однако уравнение (2.4) не соответствует
квантованию по принципу запрета, и совершенно бессмысленно. В
действительности, если предположить, что левая часть (2.4) есть с-число
(а в случае теории свободных полей, квантуемых по принципу запрета, это
правильно), то из (2.4) следует, что F (ж) необходимо будет нечетной
функцией, так как выражение
№*(*), Ф(у)]+=/¦(*-у) (2.5)
лоренц-инвариантно и удовлетворяет волновому уравнению
[3^ +го2]/?(?) = 0. (2.6)
Следовательно, для произвольных х и у получаем
(ж) У (у) + У* (у) У (ж) +1|> (у) 1|>* (ж) + ^ (ж) г|5* (у) = 0, (2.7)
откуда очевидно, что ф = 0.
Это одно из рассуждений, выдвигавшихся в цитированной работе против
квантования в соответствии с принципом запрета. В последовавшей затем
статье [И] было показано, что локальной плотности заряда не существует и
в том случае, если составить для нее некоторые нелокальные относительно
полей выражения.
Тем самым было получено удовлетворительное объяснение связи между спином
и статистикой в важнейших случаях: спин 0, спин V2 и фотоны. Однако
прежде чем начать рассмотрение случая произвольного спина, необходимо
было сначала построить теорию свободных полей в произвольном конечном
представлении группы Лоренца. Вслед за Дираком [12] это
Принцип Паули и группа Лоренца
135
сделал Фирц [13]. При этом оказалось, что совершенно независимо от
квантования полная энергия в случае двузначных представлений (т. е. для
полуцелого спина) становится индефинитной, а плотность заряда-дефинитной.
Следовательно, чтобы получить стабильный вакуум, нужно квантовать в
соответствии с принципом запрета. При этом получаются симметричным
образом частицы с зарядом обоих знаков. Для однозначных представлений (т.
е. для целого спина) полная энергия дефинитна, а заряд индефинитен.
Поэтому возможно квантование по Бозе - Эйнштейну, а квантование в
соответствии с принципом запрета недопустимо из-за нелокальной плотности
заряда. При этом доказательство совершенно аналогично рассуждениям,
приводящим к противоречивым уравнениям (2.4) и (2.7).
Для действительного тензорного поля доказательство, конечно, следует
видоизменить. В этом случае, так же как и для максвелловского поля,
предполагается наблюдаемость самого поля. Аналогичное замечание относится
к двузначным полям, подчиняющимся условию действительности Майорана. И в
этом случае необходимо потребовать, чтобы билинейные величины были
локальными.
В связи с работой Фирца обязательно следует упомянуть и те работы,
которые основываются на проделанном Вигнером (см. [14, 15]) анализе
неприводимых унитарных представлений. В этих работах доказывается, что
теория Фирца приводит {по меньшей мере) к одному волновому уравнению для
каждого представления неоднородной группы Лоренца с действительной
ненулевой массой. Для нулевой массы получаются волновые уравнения только
для тех представлений, которые получаются из предыдущего случая
предельным переходом. Остальные представления для нулевой массы,
содержащие вместо дискретных спиновых переменных непрерывные переменные,
по-видимому, не имеют физического смысла. Мы не будем обсуждать их
квантование.
Знаменитая работа Паули [16] о связи между спином и статистикой прежде
всего дала обобщение результатов Фирца на общий случай приводимых
спинорных полей. Кроме того, Паули, пользуясь новыми и интересными
методами, получил прямое доказательство того, что в (с-числовой) теории
свободных полей, инвариантной относительно собственной группы Лоренца,
плотность заряда дефинитна для однозначных, $ плотность энергии для
двузначных представлений. Отсюда следуют те же выводы, которые мы
приводили выше, причем необходимо, конеч-
136
Pec Июст
но, принять гипотезу Фирца о существовании положительной энергии в случае
целого спина. Что же касается новых математических методов, то они
заключались, с одной стороны, в классификации спиноров по четырем
классам, а с другой - в использовании того обстоятельства, что волновое
уравнение для свободных полей инвариантно относительно отражения и в том
случае, если первоначально предполагается только инвариантность
относительно собственной группы Лоренца.
Классификация спиноров осуществляется с помощью знаковой пары [(-1)т, (-
1)п]. При этом тип - числа спинорных индексов с точкой и без точки. Для
однозначных представлений этот характер принимают соответственно значения
(+, +) и (-, -). Первое значение относится к тензорам четного, а второе -
к тензорам нечетного ранга. Для двузначных представлений этими значениями
являются ( + , -) и (-, +)" причем выполняется символическое уравнение
^(*+,_) = Ф(-,+) (2.8)
Для однозначных представлений характер при комплексном сопряжении не
меняется.
Оператор idv - pv принадлежит характеру (-, -). Следовательно, линейное
волновое уравнение для однозначных полей должно иметь символическую форму
2/^<+.+) = 2Ф<-,'
-)>
V , у, (2.9)
Поэтому оно остается инвариантным при преобразовании
