Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
последовавшим бумом вокруг "ме-зонной теории ядерных сил", которой будет
посвящен § 4. В этом параграфе мы остановимся на некоторых вопросах более
математического характера, связанных со строением полей, описывающих
частицы с заданным спином (эти вопросы в значительной мере* интересовали
самого Паули).
При систематическом подходе естественно отделить классическую сторону
вопроса от квантовомеханической: как нужно обобщить классические
релятивистские уравнения поля, чтобы после надлежащего квантования
наблюдаемые величины можно было отнести к частицам со спином s,
заряженным или незаря-
78
Г. Вентцель
женным, с массой покоя, равной или не равной нулю? Нельзя ожидать, что
классическая ("с-числовая") теория сама по себе сможет описать отдельные
частицы - это невозможно даже при 5 = 0 и s-V2 (при 5=0 плотность
вероятности не является положительно определенной величиной, а при s=1/2
возникают состояния с отрицательной энергией). Можно было, однако,
надеяться, что последующее квантование (с дополнениями типа теории дырок)
приведет к последовательной теории.
Общая теория классических полей главным образом для свободных частиц была
впервые построена в 1936 г. Дираков [64], который использовал
дифференциальные уравнения первого порядка, подобные его волновому
уравнению для частиц со спином, равным Спинорные обозначения Ван дер
Вардена [65] оказались весьма полезным орудием. Структура этих теорий
была разобрана Фирцом (который выразил Паули благодарность за
руководство). В более простом случае целых спинов классическое поле
является тензором ранга 5 ((^---с^ ar=1...4), симметричным по всем
индексам, со следом, равным нулю. Тензор подчиняется волновому уравнению
Шредингера- Клейна-Гордона и дивергенция его равна нулю. В плоской волне
при тф 0 эти условия оставляют только (25+1) независимую компоненту
амплитуды, в чем проще всего убедиться, если перейти к "системе покоя"
[Qav- == ехр (--+*)• const]. При пространственных вращениях эти
независимые компоненты преобразуются по неприводимому представлению и
состояния одной частицы соответствуют (25+1) возможной ориентации спина
5. Все соотношения можно переписать в спинорных индексах и обобщить их
так, чтобы включить случай полуцелого спина. (Можно также прийти к случаю
полуцелого спина, добавляя к целому спицу спин, равный 34; по такому пути
пошли Рарита и Швингер [67].) Фирц рассмотрел возможные выражения для
плотности энергии-импульса и плотности че^ырехмер-ного тока; выбор этих
выражений неоднозначен, хотя полная энергия и полный заряд всегда
определены единственным образом. В случае целого спина энергия
положительна, но при полу-целом спине она может быть как положительной,
так и отрицательной. Это обстоятельство играет решающую роль при выборе
способа квантования: соотношения коммутации и статистика Бозе-Эйнштейна
при целом спине, соотношения антикоммутации (принцип запрета Паули) или
статистика Ферми-Дирака при полуцелом спине. Фирц [66, 68] получил общее
выражение для этих соотношений (анти-)коммутации.
Квантовая теория полей (до 1947 г.)
79
При наличии состояний с отрицательной энергией введение принципа запрета,
очевидно, неизбежно; гораздо менее ясен вопрос, почему квантование,
соответствующее принципу запрета, следует исключать при целом спине. Для
Паули этот вопрос представлял, естественно, большой интерес [69, 66, 70].
'Здесь существенным является следующий постулат: "Измерения в двух
пространственных точках, разделенных пространственноподобным интервалом,
не могут повлиять друг на друга, поскольку никакие сигналы не могут
распространяться со скоростью, большей скорости света". Этот постулат
запрещает использование "/) ^функций" в лоренц-инвариантных соотношениях
антикоммутации, и при целом s возникает математическое противоречие (см.
также статью Иоста в настоящей книге, стр. 128).
Особенно интересен случай массы покоя, равной нулю, поскольку сюда
относится электромагнитное поле (5=1) и (линеаризованное) гравитационное
поле в общей теории относительности Эйнштейна (5=2). В обеих этих
физических теориях существует группа градиентных преобразований
(возможных только при т=0), относительно которых все наблюдаемые величины
инвариантны. (В общей теории относительности градиентные преобразования
эквивалентны бесконечно малым преобразованиям координат.) Поэтому
естественно предположить, что в случае т~0 при произвольном спине s
.любые два решения физически эквивалентны, если их можно перевести друг в
друга градиентным преобразованием. Для плоских волн это приводит (при5>1)
к тому,, что число независимых поляризационных состояний равно двум -
обстоятельство, хорошо известное для электромагнитных и гравитационных
волн (при т-0 не существует "системы покоя"). В квантованной теории s по-
прежнему можно связать со "спином" или внутренним моментом количества
движения одной частицы (например, фотона или гравитона); проекции спина
на направление движения обладают собственными значениями, равными ± s. В
