Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Этот аппарат основан на использовании новых операторов аг, которые
отличаются от ЪТ только должным образом выбранным знаком и подчиняются
"соотношениям антикоммутации"
CLrCLs as & г == 6rs, CLr(ls -j- Cls(Zr - О,
которые, очевидно, инвариантны относительно унитарных преобразований (ar-
>S'1arS; S*=S_1). При практическом приложении никогда не требуется знать
явного матричного выражения операторов аг с учетом знака, поскольку
соотношения антикоммутации позволяют выразить все результаты через
физические величины, например через средние значения числа заполнения
Nr=afar. Это обстоятельство, однако, стало общеизвестным лишь много позже
(как и в случае с матрицами Дирака у^ удyv + yvyn = 26^).
Как и нерелятивистская теория многоэлектронных систем, аппарат Иордана-
Вигнера оказался очень полезным, например, при изучении электронного газа
в металлических проводниках (этого вопроса мы не касаемся в настоящей
статье). Но был ли этот формализм чем-то большим, чем простым орудием для
решения частных задач? Не мог ли он явиться существенным звеном в
построении релятивистской теории, соединенной с квантовой
электродинамикой?
Мы уже упоминали о релятивистской волновой механике Дирака для электрона
со спином и о ее трудностях, связанных с "отрицательными энергиями".
Чтобы обойти эти трудности, Дирак в 1930 г. [37] предложил рассматривать
состояние, в котором заполнены все уровни с отрицательной энергией (и
только эти уровни, как "вакуум"), что,4 однако, не приводит к появлению
наблюдаемой плотности заряда. "Дырка" в фоне отрицательных энергий ведет
себя как частица с положительной энергией и положительным зарядом, и
Дирак сначала попытался отождествить ее с протоном. Вскоре, однако,
оказалось, что такое отождествление недопустимо. В том же году Оппенгей-
мер [38] указал, что при этом атом водорода был бы неустойчив и быстро
превращался бы в два фотона. Особенно четкий вывод содержится в книге
Вейля [39, стр. 263]: согласно теории Дирака "масса протона должна быть
равна массе электрона; более
72
Г. Вентцелъ
того, независимо от выбора взаимодействия (до тех пор, пока оно
инвариантно относительно замены правого на левое), эта гипотеза приводит
к существенной эквивалентности положительного и отрицательного
электричества при всех обстоятельствах, даже если будет строго учтено
взаимодействие между веществом и излучением".
В 1932 г. позитрон был обнаружен экспериментально. Оправдавшееся
предсказание повысило доверие к теории дырок, однако последовательной
математической формулировки этой теории еще не существовало. Можно было
лишь с помощью теории возмущений рассчитать, например, рассеяние света на
электронах, образование и аннигиляцию пар или рассеяние позитронов на
электронах (с учетом: обменных эффектов) [40]. В этих случаях трудности
появлялись только при расчете высших приближений, которыми можно было
пренебречь.
Центральной проблемой являлась "поляризация вакуума": внешнее
электромагнитное поле искажает электронную волновую функцию, относящуюся
к фону отрицательных энергий, и приводит, следовательно, к появлению
некоторого распределения токов и зарядов, которое в свою очередь искажает
поле. Как выполнить в этом случае вычитание "вакуумных величин", которое
тривиально осуществляется в отсутствие поля? Даже слабое внешнее поле
приводит к появлению виртуальных элект-ронно-позитронных пар, и их вклад
в плотности заряда или поляризации описывается расходящимся интегралом.
Какая конечная часть этого интеграла соответствует наблюдаемой
поляризации вакуума? ,
Эта проблема рассматривалась с разных точек зрения и оказалась очень
сложной. По этому поводу имеются характерные высказывания. Пайерлс [41]
сказал: "Неизвестно, сводится ли необходимое усовершенствование теории
лишь к математическому видоизменению, которое позволило бы избежать
появления бесконечных величин, или требуется коренная ломка
фундаментальных понятий, лежащих в основе уравнений теории". Высказывание
Фарри и Оппенгеймера [42] свелось к следующему: "По своему характеру эти
трудности таковы, что их, по-видимому, нельзя устранить путем
видоизменения электромагнитного поля электрона на малых расстояниях;
необходимы более глубокие изменения наших представлений о пространстве и
времени...". Следует заметить, что Фарри и Оппенгеймер пользовались
аппаратом квантования электронного поля Иордана и Вигнера, но особенного
успеха не добились.
Квантовая теория полей (до 1947 г.)
73
На этот раз пессимисты оказались неправы: в 1934 г. Дирак [43] и
Гейзенберг [44] сумели построить хотя и сложную, но вполне приемлемую
формулировку теории дырок. Использовав приближение самосогласованного
поля Хартри, Дирак ввел зависящие ох времени матрицы плотности
2 фо' (Oc't') (X"t")
(суммирование выполняется по занятым состояниям) и рассмотрел их
особенности на световом конусе
[ |х' - х" |2 = с2 ( V - Г )2],
вычитая сингулярные функции, зависящие явно от поля и подобранные таким
