Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
название "колебаний решетки", хотя в некотором смысле это не совсем
удачный термин, поскольку сама решетка на самом деле фиксирована и не
колеблется, будучи геометрической совокупностью точек в пространстве.
Однако такая терминология давно стала общепринятой в специальной
литературе. Средняя амплитуда таких тепловых колебаний решетки, за
исключением области весьма низких температур, пропорциональна Г1'*, где Т
- абсолютная температура. Это следует из того, что энергия колебаний
каждого атома в первом приближении равна 3kТ. Следствием равномерного
распределения энергии является также хорошо известный закон Дюлонга и
Пти, согласно которому теплоемкость одноатомных кристаллических твердых
тел при обычных температурах не зависит от температуры и равна 3R, где R
- газовая постоянная. При более низких температурах, как следует из
квантовой теории, теплоемкость становится пропорциональной Т3.
Существует два эквивалентных метода построения теории колебаний атомов
кристалла. Первым из них является классическая теория малых колебаний.
Кристалл, содержащий N атомов, может рассматриваться как динамическая
система с 3N степенями свободы. Поэтому ее движение может быть описано с
помощью 3N нормальных координат Qr (г=1, 2,. . ., 3N). Нормальные
координаты Q суть функции конфигурационных координат (хт, ут, гг) (г- 1,
2,. . . , N), характеризующих смещения N атомов относительно своих
положений равновесия. Каждая нормальная координата описывает определенную
конфигурацию всех атомов кристалла, совершающую колебания по простому
гармоническому закону с периодом Тт=2я/шт. Такое колебание носит название
нормального колебания (или моды), а период Т" называют периодом
нормального колебания. Координата Q* удовлетворяет простому уравнению
& + (r)SQ, = 0 (s=l. •••, ЗАО. (8.1)
Введение совокупности независимых друг от друга нормальных координат Qs
позволяет простым образом применить квантовую теорию к рассмотрению
задачи о колебаниях решетки. В случае малых колебаний движение
совокупности атомов кристалла можно считать линейной суперпозицией
движений, соответствующих отдель-
8. Рассеяние электронов и дырок
271
ным нормальным колебаниям. Уравнение (8.1) есть не что иное, как
классическое уравнение движения гармонического осциллятора, квантовый
аналог которого имеет хорошо известные решения (см. Ill, гл. 8). Спектр
разрешенных энергий Епа осциллятора определяется в квантовой механике
формулой
?л, = й('Н--1-) = Л (я + у) Л'*> (8-2)
где п - любое положительное целое число (включая 0), vs - частота s-ro
нормального колебания. Поэтому полную колебательную энергию кристалла
можно записать в виде
^ = А?(л' + т)^ (8.3)
где Ль л2,- . •, п3,. . .- некоторая последовательность положительных
целых чисел. Заметим, что минимальная энергия колебаний, связанная с s-м
нормальным колебанием, равна (ll^)h\a и представляет собой энергию так
называемых нулевых колебаний данной частоты. Полная энергия нулевых
колебаний всего кристалла H70v определяется как
(8.4)
Волновая функция, соответствующая минимальной энергии кристалла при
абсолютном нуле температуры, распределена в небольшой области,
прилегающей к равновесной конфигурации атомов, и описывает колебания с
небольшой, но конечной амплитудой. Таким образом, согласно квантовой
теории, состояние кристалла с атомами, покоящимися в соответствующих
положениях равновесия, невозможно даже при абсолютном нуле температуры.
Другой метод рассмотрения вопроса о малых колебаниях сводится к
использованию представления о бегущих волнах, когда движение каждого
атома кристалла описывается с помощью суперпозиции бегущих волн смещения.
Если под R понимать вектор смещения атома, положение равновесия которого
характеризуется вектором г, то каждую бегущую волну смещений можно
записать в виде
R = Aexp[t(K-r-(о/)], (8-5)
где К - волновой вектор. Зависимость (о от К определяется конкретной
структурой кристалла и носит название закона дисперсии для кристалла.
Учет надлежащих граничных условий показывает, что в кристалле имеется
вполне определенный набор разрешенных частот колебаний со, причем
разрешенные значения со, как и следовало ожидать, совпадают с частотами
ыа нормальных колебаний. Более того, амплитуды Аа бегущих волн в
выражении (8.5), соответствующие частотам (о3, тесно связаны с
нормальными коор-
272
8. Рассеяние электронов и дырок
Рис. 8.1. Кривые дисперсии для спектра колебаний кристалла с двумя
атомами на одну элементарную ячейку.
динатами Qs (см. [1], гл. 8). Длина волны колебаний с частотой •о, равна
2л//Сз- Прп малых значениях К, соответствующих длинным волнам, формула
(8.5) описывает обычные звуковые волны в кристалле. Вид зависимости ю от
К напоминает зависимость ? от к для электронов в кристалле. Вследствие
периодичности кристаллической решетки значения волнового вектора К, так
же как и волнового вектора электрона к, ограничены первой зоной
Бриллюэна. Разрешенные значения К, определяющие спектр частот со, для
