Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
изменение концентрации примесей, приводящее к образованию большого
градиента концентрации носителей заряда. Из уравнения Пуассона следует
(725)
где е - диэлектрическая проницаемость. Например, пусть р- 1013 см-3=1018
м-3, (Ар-Дп)=0,01 р, е= 10 и е0"10-11 Ф-м-1. Если теперь при дс=0 поле
<?*=0, то ?х(х) = 107'Х В-м-1, и тогда на расстоянии в 1 см получим
<?*=10": В-м-1.
Можно также рассмотреть изменения во времени р в объеме вещества
(пренебрегая пока процессом диффузии). Уравнение непрерывности
электрического тока дает
div j = divcrg = - = е(An -Ар). (7.26)
Используя уравнение (7.25), получаем
-~-(Ап-Ар)^ - -^-(Ап - Ар). (7.27)
Решением этого уравнения будет
(Ап-Ар) = (Ап - Ар)f_о ехр ( - :?). (7.28)
где т"-ee ja. Если а= 1000м-1-м-1, тот""10-12 с, и, следовательно, всякий
объемный заряд, возникший в полупроводнике, очень скоро исчезнет. Это,
казалось бы, означает, что ни при каких условиях объемный заряд
существовать не может. Более точные вычисления, в которых принята во
внимание диффузия носителей заряда и которые будут рассмотрены ниже,
показывают, однако, что могут существовать очень слабые объемные заряды и
что они могут приводить к возникновению довольно сильных внутренних
электрических полей. Предыдущий анализ неоднородных полупроводников
показывает, что подобные объемные заряды и поля существуют везде, где
меняется концентрация доноров и акцепторов. Пока мы будем предполагать,
что Ап=Ап.
208
7. Диффузия электронов и дырок
7.3.1. КВАЗИУРОВНИ ФЕРМИ
Если концентрация электронов п и концентрация дырок р отклоняются от
равновесных значений п0 и р0, то п и р уже нельзя выразить через одну
величину - энергию Ферми ЕР. В разд. 4.3 было показано, что в равновесных
условиях при температуре Т и в отсутствие вырождения пир можно записать в
виде
Мы можем, однако, ввести два новых энергетических параметра ЕР и EFh,
которые позволяют нам выразить пир в том же виде, что и уравнения (7.29),
(7.29а), а именно:
Величины EFe и Ff^ называют соответственно квазиуровнями Ферми для
электронов и дырок. В состоянии теплового равновесия оба они совпадают с
ЕР, но в общем случае один из них расположен выше, а другой - ниже уровня
Ферми. Это показано на рис. 7.2 для обычного случая, когда п>н0, а р>р0;
при этом уровень Ер расположен выше Ff, a Eph- ниже Ер. Это легко видеть,
если записать Ef и Ef%_ в виде
е л
Если п0^>р", Ап=Ар<фг0, но в то же время Ап= Ар^>р0 (это довольно общий
случай), то можно видеть, что ?Ve сдвигается относительно Ер очень
немного, но ?УЬ может сдвинуться весьма существенно.
Простое соотношение, подобное п0р0=п2{, теперь записать нельзя, но можно
отметить, что
так что разность Еfc-?Fh служит мерой отклонения произведения пр от его
равновесного значения.
(7.29а)
(7.29)
(7.30)
(7.30а)
(7.31а)
(7.31)
tip - tif exp •
(7.32)
7. Диффузия электронов и дырок
209
Зона проводимости
-- Е = 0
=?>"
-------------------------------------------
Валентная зона Е ^
Рис. 7.2. Квазиуровни Ферми, Ап= Др>0.
Как можно видеть из уравнений (7.31) и (7.31а), в случае обеднения
носителями, когда п<п0 и р<р0, положения квазиуровней Ферми относительно
уровня Ферми становятся обратными.
В случае, который нельзя считать невырожденным, мы можем все же ввести
квазиуровни Ферми с помощью уравнений, подобных уравнениям (4.19) и
(4.20). В этом случае, однако, они не так удобны для вычислений и
использование их не столь наглядно. Квазиуровни Ферми ничего не говорят о
распределении электронов по уровням энергии в зоне проводимости или дырок
в валентной зоне и поэтому не очень полезны при сильном отклонении этого
распределения от равновесного.
7.4. Электронно-дырочная рекомбинация
Теперь необходимо рассмотреть поведение полупроводников, в которых
возникли отклонения от равновесных концентраций носителей заряда, равные
Дп и Др. Ясно, что если причина, порождающая эти отклонения, устранена,
то концентрации через некоторое время вновь достигнут своих равновесных
значений. Пусть Дп0 и Др0- величины Дп и Др при /=0 (Дл0=Др0), и
пусть 5J0- темп
(постоянный) генерации электронно-дырочных пар. Тогда темп
изменения пир можно выразить уравнением
1-тг=я.-гп- <7-33>
где тп- величина, которая может зависеть от р. В состоянии равновесия
dbnldt=0 и п=п0, так что Э1в-пй1тПо, где тп"- значение т, когда п=п0.
Следовательно, уравнение (7.33) можно представить в виде
dAn п0 л ,7 nil
dt ~ тп. т"- ( • '
Аналогично получим
= (7.34а)
dt тр, тр
210
7. Диффузия электронов и дырок
Большой практический интерес представляет случай п5?>р. При этом условии
р называют концентрацией неосновных носителей заряда. Изменения п будут
малы, если |Др|^р, так как |Лп| = = |Др|<р. В этом случае время жизни т
не будет зависеть существенным образом от концентрации я; его можно
положить равным константе, и тогда
^ = - (7.35)
ut Тр
при 5i0=pa/тр. Решением уравнения (7.35) будет
Др = Др0ех р( -(7-36)
Мы видим, что концентрация избыточных дырок уменьшается в. ev2,7 раза за
