Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
{'*'+тш (г) тт] ">+тктг<тЕ>- <6-'>
где, как и ранее, ?F-энергия Ферми. Для того чтобы найти тепловой поток
Wx, прежде всего заменим -е на ? перед прямыми скобками и во втором члене
и затем произведем усреднение, тогда полу-
176
6. Электронные тепловые явления
чим
W.
=-й;К+г1(т)т] <*е>-,%-.?<"*>¦ <62)
В отсутствие электрического тока можно исключить ?х и получить выражение
для Wx (заметим, что если д.Т!йхф0); таким обра-
зом, получим выражение
п dT <т> <?2т> - <?т>2
w, = -
meT dx
<т>
(6.3)
Ниже мы увидим, что наряду со средней величиной <т*> мы будем иметь дело
со средними <т?> и <т?'2>; весовая функция используется прежняя.
В полупроводнике теплопроводность имеет две составляющие: одна
обусловлена колебаниями атомов около своих положений равновесия (в
кристалле это колебания решетки), а другая составляющая обусловлена
подвижными носителями заряда, электронами и дырками. Теплопроводность
первого типа мы будем обозначать через xL. Электронную часть
теплопроводности обозначим через хе для полупроводника л-типа и через xh
для полупроводника р-типа. В случае смешанной проводимости обозначим ее
через хт. Электронная составляющая теплопроводности определяется
выражением
п [<т> <?2т>-<?т>2]
dT/dx
Tme <т>
(6.4)
Поскольку в нашем случае электропроводность ст равна л"2<т>//ле, то
k2 N
(6.5)
К. = LoT = 3 {^г)оТ,
где
3-
<т><?2т>-<?т>2 к2Т2<т>2
(6.6)
- простой численный множитель. Обычно L=3 (кЧе2) называют числом Лоренца.
В невырожденном полупроводнике при x=aE~s
оГ
<Т>:
т~0
<хЕ>-акТ
(т-0
'9 -)
(6.7)
6. Электронные тепловые явления
177
Воспользовавшись соотношением Г(1+*)=*Г(.\), получаем "5й=
=-|--s. При рассеянии на акустических колебаниях, когда s=y ,
имеем J?=2 (классическая электронная теория дает значение J?=3).
В случае сильного вырождения при вычислении средних величин типа <т>
нельзя ограничиться первым приближением. В первом приближении, т. е. с
точностью до членов первого порядка по к77?Р, число Лоренца J?=0.
Действительно (ср. с формулой (5.91)1, в этом приближении
<?t> = ?ft(?p), <?*T> = ?f:T(?F).
Для вычисления <т>,<?т> и <?2т>, определяемых выражениями вида
со
<T> = -??v^x?,/.gd? (6.8)
о
(ср. с формулой 5.90)1, необходимо вычислить интеграл
о
с более высоким приближением. Ранее в случае сильного вырождения такой
интеграл полагался равным просто <p(?F). Теперь необходимо вычислить его
с большей, степенью точности. Разлагая Ф(?) в ряд по степеням (?-?Р)
вблизи ?=?Р, получаем
<р(?) = Ф(?Р) + (?-?P)(p'(?P)-}-j(?-ЕРУуГ(ЕР) + ... . (6.9)
Подстановка в исходный интеграл и почленное интегрирование дают
J(?-?P)^d? = 0,
о
90
j (? - ?Р)г - dE = - у кгТ\ о
Таким образом,
со
_{ф(?)|М?=ф (?Р) + % (кГ)" ф* (?Р) +... . (6.10)
о
178
6. Электронные тепловые явления
Формула (6.10) позволяет вычислить величины <т>, <Ет>, <.ЕН> во втором
приближении по к77Ер. Проводя затем необходимые преобразования, получим,
что
откуда ^=я2/3. Для промежуточной степени вырождения интегралы,
определяющие <т>, <Ет> и т. д., необходимо оценить численно. Если
t=aE~s(s<.3/2), то
Таблицы функций FT(EF) составили Макдугл и Стонер [2] для некоторых
полуцелочисленных значений г и Родс [3] для целочисленных значений г.
Зависимость 3 от Ер/kT при s=V2 изображена на рис. 6.1.
В случае полупроводников /7-типа удобнее пользоваться функцией
распределения f'0(E) для дырок
Если ввести энергию Ферми для дырок Ер=-АЕ-EF, где АЕ - ширина
запрещенной зоны, а Е'- кинетическая энергия дырки, и учесть, что энергию
любого вакантного электронного уровня (т. е. занятого дыркой) можно
представить в виде Е=-АЕ-Е', то
Предполагая, чтотh=a'E s', можно для плотности электрического тока
получить следующее выражение:
1х = РРъ{е&х-[т (6.15)
Для вычисления потока энергии необходимо заменить е на Е'+АЕ. Тогда
<т> <Е2т> - <Ет>2 = j- л2к2Г2 <т>2,
(6.11)
(6.12)
2
где
Е,(Ер) = $Е'№
(6.13)
0
/о(Е)= 1-/0(Е).
(6.14)
f'0(E',E'F) = f0(E, Ef).
(6.14а)
f^{rf.-[r^(#)+k(I-!-)]?}. (6.16)
-2-10 1 2 "3 4
EflkT
Рис. 6.1. Множитель X в числе Лоренца L=<Jf(k/e)a как функция ?>/кГ при
т=о?-,/*
Второй член (пропорциональный ДЕ) в правой части (6.16) представляет
собой как бы перенос рекомбинационной энергии дырок и электронов (см.
ниже); он исчезает одновременно с током дырок. Полагая /*=0 и исключая
е<§х, получаем
wx ^ (Ъ ,\ к2т Mh- dT/dx~pPb{ 2 ) е * (6-17)
Таким образом,
x"=(l-s')(S)07'" (6Л8>
что отличается от хе лишь, заменой s на s'.
Весьма интересное явление имеет место в области смешанной проводимости,
когда электронный и дырочный токи не исчезают, несмотря на то что
плотность суммарного тока равна нулю. Второй член в формуле (6.16) может
дать значительный вклад в теплопроводность лишь при АЕ^>кТ. Выражения для
суммарного электрического и теплового потоков в случае смешанной
проводимости можно получить, сложив попарно выражения для соответствующих
потоков, определяемых выражениями (6.1), (6.15) и (6.2), (6.16). Если из
полученной таким путем системы уравнений исключить <?х и пренебречь
