Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
нулю, то, обозначив его диагональные компоненты соответственно через \[ти
1 !тг н 1!т3, можно свести (2.40) к простому виду
dvx р
тЧ? = Р*'
т dVV-F 1 dt У'
т dvz _ р 3 dt ~Ff
(2.41)
Прн ml=m2=ms=mc запись еще упрощается н мы получаем
(2.42)
dv _ /"е dt ~
В последнем случае имеется лишь одно значение эффективной массы, и
электрон движется в силовом поле так, как если бы речь шла об обычной
частице с массой те. В общем случае в зависимости от направления движения
необходимо использовать соответствующее значение эффективной массы.
Исследуем теперь движение положительной дырки. Для начала рассмотрим
движение какого-нибудь электрона в заполненной зоне. Если в момент
времени t его скорость была v{, а к моменту времени t+At она стала равной
Vj+Avj, то
Ду,. = -^Д t, (2.43)
где d.Vi/dt определяется уравнением (2.39). Поэтому если бы
рассматриваемое состояние было вакантным, то можно было бы считать, что в
момент времени t отсутствует электрон, обладающий скоростью Vj, а к
моменту времени t+At отсутствует уже электрон, который имеет скорость
у,+Ду/, т. е. имеется дырка со скоростью у,+Ду,. Таким образом, дырка
движется с той же скоростью, с которой бы двигался электрон, занимающий
это вакантное состояние. Однако вблизи потолка заполненной зоны
диагональные компоненты тензора обратной эффективной массы электрона
отрицательны, так что можно написать
= (2.44)
Назовем 1/т^ тензором обратной эффективной массы дырки, теперь
диагональные компоненты этого тензора положительны. Таким образом, в
случае диагонального тензора для дырки имеем
дЕ
58
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
и
mh^ = - Px и Т.д. (2.45)
где Fx является х-компонентой вектора силы, действующей на электрон. В
случае электрических сил дырка ведет себя так, как если бы она обладала
положительным зарядом +е и эффективной массой, равной по величине и
обратной по знаку эффективной массе отсутствующего электрона. При этом
необходимо учесть, что эффективная масса электрона у потолка заполненной
зоны отрицательна. Таким образом, дырка ведет себя как частица с
положительной массой и положительным зарядом.
Резюмируя полученные выше результаты, можно сказать, что • в идеальном
кристалле электроны и дырки движутся под действием приложенных внешних
полей соответственно как частицы с отрицательным и положительным зарядами
и со свойственными им величинами эффективных масс. Вообще говоря,
эффективные массы электронов и дырок отличаются друг от друга, поскольку
они относятся к различным зонам. В сферически-симметричном случае,
обозначив эффективные массы электронов и дырок соответственно через те и
mh, имеем
± = (2.46)
/ле да2 т\1 dk- х '
где ЕсиЕу - энергии электронов в зоне проводимости и в валентной зоне
соответственно. Величины те и mh обратно пропорциональны кривизне
изоэнергетических поверхностей в к-пространст-ве. Поэтому во многих
случаях нет необходимости знать подробности кристаллической структуры;
достаточно воспользоваться соответствующими величинами эффективных масс,
которые можно определить, как мы увидим позже, из опыта.
Различные методы определения компонент тензора обратной эффективной массы
будут в дальнейшем обсуждены более подробно, так как эффективная масса
носителей заряда является одной из наиболее важных характеристик
полупроводника. Если конкретный вид тензора обратной эффективной массы
определен, то отсюда можно сделать много общих заключений относительно
строения энергетических зон.
В качестве простого примера движения электрона в кристалле под действием
внешнего силового поля рассмотрим вкратце самый прямой метод определения
эффективной массы те для зоны со "сферической" симметрией. Предположим,
что вдоль оси г создано постоянное магнитное поле с индукцией В.
Уравнения движения элект-
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
59
рона на основании (2.42) имеют вид
mevx = - eBvy, mevy=eBox,
*г = 0.
>
(2.47)
Решение этой системы уравнений хорошо известно. Если начальная
составляющая скорости и2=0, то частица описывает в плоскости (х, у)
окружность. Обозначив через г радиус этой окружности, а через v -
скорость движения по ней, имеем
Электрон обращается по окружности с частотой vc, которая дается формулой
Эта частота известна под названием циклотронной частоты. Она не зависит
от радиуса описываемой окружности. Е?ли, кроме магнитного поля, приложить
также слабое радиочастотное электрическое поле, то при приближении
частоты поля к vc электрон начнет поглощать энергию поЛя, увеличивая
одновременно радиус своей круговой орбиты. Определение этой резонансной
частоты позволяет измерить vc, а значит, и те. Такой метод
непосредственного измерения те был впервые предложен Дорфманом 17], затем
обсужден теоретически Динглем [8] и Шокли [9] и с успехом применен на
опыте Дрессельхаузом и др. [10]. Эти опыты были проведены на германии.
Было показано, что эффективные массы как электронов, так и дырок нельзя
