Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
такое положение теоретически возможно лишь при абсолютном нуле
температуры. При обычных температурах в зоне проводимости всегда найдется
некоторое количество электронов, заброшенных туда из заполненной зоны
вследствие теплового возбуждения. Мгновенная плотность электрического
тока I, обусловленная движением какого-либо электрона, пропорциональна
его скорости v и совпадает с ней по направлению. Величину I можно
вычислить следующим образом. Пусть имеется Nv электронов (с вектором
скорости, равным v) в объеме V. Число электронов, пересекающих за единицу
времени единичную площадку, перпендикулярную направлению скорости v,
определяется как Mv|v|/V. Поэтому плотность тока равна -e/Vv|v|/V, а
плотность тока I, обусловленного движением одного электрона, может быть
выражена в виде
1 = -е^. (2.29)
Предположим теперь, что речь идет об электроне, состояние которого
характеризуется волновым вектором к. Соответствующая скорость v
определяется равенством (2.16). Отметим, что скорость электрона в
состоянии с волновым вектором -к равна -V, поскольку энергия Е является
четной функцией к. Полная плотность электрического тока для всей системы
электронов равна
1==-(т)5>" (2-3°)
S
где векторы скорости vs соответствуют состояниям, занятым электронами. В
частности, если электроны полностью заполняют какую-либо разрешенную
зону, то соответствующий ток 1 =0, так как каждому значению ks в зоне
соответствует волновой вектор -ks,
2. Уровни анергии в кристаллических твердых телах
55
порождающий равный по величине и обратный по направлению ток.
Предположим теперь, что вся зона полностью заполнена электронами, за
исключением одного единственного состояния, характеризуемого волновым
вектором кь которому соответствует скорость Vj. Суммарный ток всех
электронов в зоне записывается в виде
,=-(v) Hv*=-(v) Е v*+(y)v'- <2-31>
' ' s Ф i 'по всей ' •
зоне*
Первый член в правой части (2.31), как уже было сказано, равен нулю.
Поэтому
1 = (т)^ (2.32)
Таким образом, суммарный ток всех электронов в зоне эквивалентен току
одного электрона, если поместить последний в вакантное состояние и
приписать ему положительный заряд +е. Такое вакантное состояние
называется положительной дыркой или просто дыркой. Позже мы увидим, что
положительной дырке можно приписать эффективную массу, равную по
абсолютной величине эффективной массе того электрона, который занял бы
это вакантное состояние. Ясно, что при наличии некоторого количества
положительных дырок плотность соответствующего им электрического тока
равна
Р-ЗЗ)
При наличии электронов и дырок, как это имеет место в собственном
полупроводнике, когда взамен каждого электрона, перешед? шего в зону
проводимости, остается одна положительная дырка в валентной зоне,
мгновенное значение плотности электрического тока определяется выражением
(v){Zv/-2>}- <2'34>
где сумма по / относится к электронам, а сумма по i - к дыркам.
2.5. Движение электронов и дырок в кристалле под действием внешних
силовых полей
Электрон, движущийся в идеальном кристалле, сохраняет свою скорость,
когда он находится в состоянии, описываемом волновой функцией типа (2.7).
В действительности скорость его будет испыты-
56
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
вать флуктуации, обусловленные полем кристалла, однако наблюдаемая
скорость будет постоянной. Выясним теперь, как влияет наличие внешних
полей на величину средней скорости. Рассмотрим сначала влияние
электрического поля <§. Работа, совершаемая полем над электроном в
единицу времени, равна
Используя равенство (2.16) для v, уравнение (2.35) можно записать в виде
Это одно из самых основных соотношений теории. Оно показывает, что под
действием внешнего электрического поля квазиимпульс растет
пропорционально напряженности приложенного поля. Однако вывод,
приведенный выше, нельзя применить к случаю внешних полей, действующих на
электрон с силой, перпендикулярной направлению скорости электрона v, как,
например, сила Лоренца в случае магнитного поля, поэтому здесь
потребуется более сложное рассмотрение. Оказывается, что уравнение (2.36)
имеет довольно общий характер и может быть записано в виде (см. [4], §
5.4)
где F - сила действующая на электрон. Это объясняет, почему величина Р
называется квазиимпульсом электрона в кристалле. Если наряду с
электрическим полем имеется также и магнитное поле с индукцией В, то
Дифференцируя равенство (2.16) для v по времени, получаем
значают попеременно х, у, г, называют тензором обратной эффективной
массы. Компоненты этого тензора по-прежнему определяются формулами
(2.28а), несмотря на то что они были введены для частных случаев
сравнительно простой зависимости Е(к).
Векторные компоненты уравнения (2.39) можно записать в виде
(2.35)
откуда имеем
(2.36)
(2.37)
F = - eg- e(vxB).
(2.38)
dv х dt
д2Е p д2Е p . д2Е dk\ x + dkxdk/y^ dk^k,
FA и т. д. (2.40)
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
57
Если недиагональные компоненты тензора обратной эффективной массы равны
