Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
случае простое разложение энергии Е по четным степеням kx, ky, kz
невозможно. Выражение, описывающее зависимость Е от k при малых k, имеет
более сложный вид. В результате изоэнергетические поверхности приобретают
вид искаженных сфер. Однако во многих случаях "вырожденные" зоны можно
представить в виде двух "сферических" зон с эффективными массами дырок
mhl и mh2. Обычно оказывается, что одна из эффективных масс намного
меньше другой, и о них говорят как о "легких" и "тяжелых" дырках; ранние
исследования их свойств в основном проводились на Si и Ge, которые имеют
подобную зонную структуру (см. разд. 13.3).
Кристаллы с кубической симметрией, такие, как Si и Ge, обладающие
кристаллической структурой алмаза или цинковой обманки, в
действительности имеют зоны, которые трехкратно вырождены при к=0, если,
конечно, пренебречь взаимодействием спина электрона с его орбитальным
движением. Однако если это взаимодействие принять во внимание, то третья
зона оказывается отщепленной от первых двух и становится по форме почти
сферической
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
51
в
Рис. 2.5. Сечения изоэнергетических поверхностей плоскостью (kx, k,j). а
- сферические поверхности при Л=0; б - сферические поверхности при =лId и
т. д.; в - эллипсоидальные поверхности при k=k9".nld) и т. д.
52
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
с максимумом, лежащим на AEs ниже положения общего максимума двух других
зон (см. [4], § 7.3.5). Эффективная масса дырки в этой зоне будет иметь
еще одно значение тЪз. Энергию AEs называют энергией спин-орбитального
расщепления. Обычно AEs заметно меньше, чем ширина запрещенной зоны АЕ.
Однако в некоторых полупроводниках АЕ и AEs имеют величины одного
порядка, что, как мы увидим позже, придает таким материалам некоторые
интересные свойства.
Из-за взаимодействия между вырожденными зонами изоэнергетические
поверхности теряют сферическую форму, и для некоторых целей приближение
на основе двух скалярных эффективных масс оказывается слишком грубым.
Можно показать (см. [4], § 7.3.5), что вблизи к=0 энергию можно
представить в виде
Е (k) = - АЕ + [Лk* ± {B'k* + С2 №1 + + ВД}*/.], (2.25)
где, как и обычно,
Если пренебречь членом, содержащим константу С, то можно заметить, что
(2.25) сводится к двум отдельным сферическим энергетическим зонам со
скалярными эффективными массами т0/(А+В) и mJ{A-В). Нескрлько лучшим
приближением являются урав-
2. Уровни анергии в кристаллических твердых телах
53
нения
(2.26)
Это достаточно хорошее приближение для mhl, при этом зона легких дырок
оказывается почти совсем сферической, тогда как зона тяжелых дырок
искажена п значительно сильнее [6].
В отсутствие спин-орбитального расщепления (см. разд. 12.6) валентные
зоны Si и Ge, как отмечалось выше, были бы трехкратно вырождены при к=0;
влияние спин-орбитального взаимодействия заключается в уменьшении энергии
одной из зон и, следовательно, в отделении этой зоны от двух других зон,
рассмотренных выше. Так как взаимодействие между этой зоной и двумя
другими мало, то ее изоэнергетические поверхности оказываются почти
сферическими. Для этой зоны получим
где А та же самая константа, что и в (2.25); отсюда следует, что
эффективная масса третьей дырки имеет величину
Иной вид зонной структуры реализуется в халькогенидах свинца PbS, PbSe,
РЬТе, у которых минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны
расположены при одной и той же величине к, однако, отличной от нуля. В
этих соединениях максимумы и минимумы лежат на краю зоны Бриллюэна в
направлениях <111 >, так что существует четыре максимума и четыре
минимума (см. рис. 13.7).
Упомянем еще оди" вид зонной структуры, хотя, строго говоря, к обычным
полупроводникам он отношения не имеет. Может оказаться так, что вершина
валентной зоны в точности совпадает с дном зоны проводимости и ширина
запрещенной зоны в точности равна нулю. Такая структура осуществляется,
например, в сером олове (a-Sn) и в HgTe. Структура (a-Sn) показана на
рис. 13.5. В этом случае материал называют полуметаллом.
В отсутствие вырождения зон всегда можно выбрать оси координат так, чтобы
выражение для Е свелось к одной из форм, содержащих только квадраты
компонент к. Однако если такого выбора системы координат не делать, то,
разлагая функцию Е вблизи экстре-
?(к) = -Д?-Д?,-|;(ЛП
(2.27)
(2.26а)
*) Относительно сферической зоны.- Прим, ред.
54
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
мума, можно, вообще говоря, получить выражение вида
? = ?o + fl^y. (2.28)
Z хуг"1**
В этой формуле члены первого порядка по к отсутствуют, так как разложение
производится в точке экстремума. Тензор 11тху носит название тензора
обратной эффективной массы. Он может быть записан в виде
-- = яь ' и т- Д- (2.28а)
тху akx dky 4 '
2.4. Положительные дырки
В идеальном полупроводнике, когда все электроны находятся в наинизших
энергетических состояниях, в зоне проводимости нет электронов. Однако
