Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
обычно от -nld до л Id, именуемым зоной Бриллюэна.
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
43
Рис. 2.1. Приведенное представление зависимости Е от k.
Более того, если U (х) - четная функция, как это и должно быть из
соображений симметрии, то при изменении знака х энергия не изменится.
Если мы теперь изменим и знак k, то мы вновь получим волновую функцию с
той же энергией, что и ранее; следовательно, Е (k) - четная функция k.
Итак, определяя энергию Е (k) как функцию k, мы можем еще больше
ограничить область изменения k : 0^.k^.n/d. Такое представление носит
название приведенного представления и иллюстрируется рис. 2.11). При
использовании приведенного представления энергия Е (k) оказывается
многозначной функцией k, к^к это показано на рис. 2.1, причем каждая
ветвь на этом рисунке соответствует определенной разрешенной зоне. Зоны,
соответствующие одномерным задачам, не перекрываются и почти всегда
отделены друг от друга запрещенными энергетическими зазорами. Именно
вследствие такой особенности возможно качественное рассмотрение свойств
полупроводников в рамках этой упрощенной теории, использованной нами в
предыдущей главе.
Эти результаты можно легко обобщить на более реальный случай трехмерного
кристалла. Для простоты предположим, что в кристалле можно выбрать три
взаимно ортогональные оси (х, у,
г) так, чтобы кристаллическая решетка была периодична в направлении
этих осей. Это всегда можно сделать в случае кристаллов простой формы.
Пусть (du d2, d3) - периоды решетки вдоль осей
'> Соответственно, область изменения 6,-определяемая интервалами -л/dc
Id, или Id, называют приведенной зоной.- Прим. ред.
44
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
кристалла; иначе говоря, элементарная ячейка представляет собой
параллелепипед со сторонами di, йг и d3. Периодический потенциал в этом
случае обладает свойством
l/(r) = l/(r + d), (2.13)
где d - любой вектор вида
d = i + п 2d2j -f n3d3q,
nu n2, n3 - целые числа, i, j, q - единичные векторы вдоль осей х, у, г
соответственно. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде (см.
[4], § 4.1.1, 4.3, 4.9)
Ф(*. У. z) = uk{x, у, z)exp[i(к-г)], (2.14)
где к - постоянный вектор с компонентами (kx, ky, k2), uh (x, у, z) -
периодическая функция координат с периодом решетки. Энергия Е зависит от
kx, ky, kz и по-прежнему является периодической функцией с периодами
2яldu 2яld2 и 2яld3 по осям ks, kv и kz соответственно. Поэтому
достаточно ограничить область изменения к в k-пространстве пределами
одной зоны. Эта зона обычно выбирается в виде наименьшего объема в ^-
пространстве, центрированного в начале координат, который еще содержит
все неэквивалентные значения к. Форма этой зоны зависит от
кристаллической структуры; эту зону обычно называют первой зоной Брил-
люэна.
Вектор квазиимпульса Р можно определить с помощью равенства (см. [4],
§5.1)
Р=к&; (2.15)
тогда вектор скорости v определяется формулой
v = ^"1Va?( k) = Vp(P). (2.16)
Значения Р отличаются от соответствующих значений к лишь множителем %,
поэтому любая из этих величин может служить "квантовым числом",
описывающим состояние электрона в кристалле.
Как правило, энергию нельзя уже представить в виде функции от одной
переменной, за исключением специальных случаев, например, когда Е зависит
лишь от k, т. е. от величины вектора к. Обычно зависимость ? от к
изображают графически для некоторых главных направлений в кристалле.
При заданном направлении в кристалле соседние энергетические зоны, вообще
говоря, всегда разделены запрещенными участками, однако минимум энергии в
одной зоне может лежать ниже максимума энергии нижней зоны для другого
направления в кристалле. Поэтому перекрытие соседних зон в трехмерных
задачах - явление обычное. Кристалл будет обладать свойствами
полупроводника лишь в том случае, если наивысшая заполненная зона и
2. Уровни анергии в кристаллических твердых телах
45
наинизшая пустая зона отделены друг от друга конечной зоной запрещенных
значений энергии.
Можно показать, что в кристалле кубической формы с длиной ребра L, так же
как и для случая свободных электронов, число разрешенных значений kx в
интервале -n!dl<Lkx^.nld1 равно L/dlt и аналогично для ky, kz. Полное
число разрешенных значений к поэтому равно \!4i d2 d3, где V - объем
кристалла, что совпадает с числом элементарных ячеек кристалла. Результат
верен для кристалла любой формы (см. [4], § 5.5). Если на каждую
элементарную ячейку приходится по одному атому, то N равно числу атомов в
кристалле. Таким образом, в кристаллах, состоящих из одновалентных
атомов, электроны заполняют лишь половину валентной зоны, т. е. AV2
состояний, поскольку из-за наличия спина на каждом энергетическом уровне
может находиться по два электрона. При наличии двух электронов на атом
зона полностью заполняется. В общем случае при четном числе электронов на
атом состоянию кристалла с минимально возможной энергией соответствуют
