Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
будут приведены лишь некоторые из наиболее фундаментальных результатов
этой теории с указанием на то, как применяются эти общие положения к
случаю полупроводников. Мы сможем убедиться в том, что теория позволяет
описывать движение электронов в твердых телах, оперируя небольшим
количеством величин, которым можно дать строгое определение, и что во
многих случаях детальную структуру твердого тела можно не рассматривать.
Теория, естественно, позволяет вычислить эти величины, но их значения
можно также получить (причем, как правило, с гораздо большей точностью)
из опытных данных и в этом случае их можно трактовать просто как
параметры феноменологической теории.
Для начала рассмотрим движение электрона в идеальной кристаллической
решетке в отсутствие примесей и дефектов. Предполагается, что электроны
движутся независимо друг от друга, причем каждый из них подчиняется
уравнению Шредингера для движения электрона в силовом поле, в котором он
обладает потенциальной энергией U'-\
V2Y + ^-°[? - t/]Y = 0, (2.1)
J) См., например, [1-3]. Рассмотрение для случая полупроводников
выполнено автором [4].
2) В дальнейшем для краткости вместо термина "потенциальная энергия"
будет использоваться термин "потенциал".- Прим. ред.
2. Уровни анергии в кристаллических твердых телах
41
где У - волновая функция электрона, Е - его энергия. Вероятность
обнаружения электрона в объеме dV равна I'P'IW, а соответствующая
плотность заряда -е|Чг|а, где е-заряд электрона. В случае пространства,
свободного от полей, потенциал U постоянен и волновая функция
определяется как
Yk = exp [tk - г], (2.2)
что соответствует плоской волне. Тогда энергия Е дается выражением
Е=Т&,- М
где
*¦ = | к" | = **+**+*¦. (2.4)
Е - представляет собой кинетическую энергию электрона. Волновой вектор к
связан с импульсом электрона р и скоростью v соотношением
р = Дк = т0\, (2.5)
причем то - масса электрона в свободном пространстве (см. 14], §1.2.1).
Если U(г) - периодический потенциал, имеющий периодичность^
кристаллической решетки, то уравнение Шредингера имеет формально сходное
решение. Как будет видно в дальнейшем, мы можем ввести величины,
соответствующие скорости и импульсу электрона, движущегося в кристалле,
однако эти величины будут усреднены по большому количеству ячеек
кристаллической решетки.
2.2. Движение в пространстве с периодическим потенциалом
В случае одномерного периодического потенциала с периодом d потенциальная
энергия U(x) удовлетворяет условию
U(x)=U(x+rd), (2.6)
где г - любое целое число. Можно показать, что в этом случае решения
соответствующего уравнения Шредингера должны иметь вид [5]
'M*)="*(*)exp[i'?x], (2.7)
где и(х) - периодическая функция с периодом d, k - постоянная,
которая может служить "квантовым числом" для характеристики
состояния, описываемого волновыми функциями (2.7). Эти волновые функции
по своей природе аналогичны волновым функциям типа (2.2) для случая
свободного электрона. Однако физический смысл величины k в данном случае
не столь нагляден. При движении
42
2. Уровни энергии в кристаллических твердых телах
электрона в периодическом поле нарушается пропорциональность между
волновым числом k и импульсом, который не является константой при
движении в пространстве с периодическим потенциалом, т. е. не является
интегралом движения. Величину Р, определяемую равенством
P = %k, (2.8)
обычно называют "квазиимпульсом", чтобы отличить ее от настоящего
импульса электрона, с которым она совпадает, лишь когда U(х) =const.
Квазиимпульс Р, очевидно, является интегралом движения и может служить
вместо Л в качестве "квантового числа". Ниже мы увидим, что Р обладает
многими свойствами, присущими импульсу.
Из функций типа (2.7) можно построить волновые пакеты для описания
движения электронов. В этом случае можно показать, что скорость электрона
равна групповой скорости du>ldk, где величина (о выражается через энергию
с помощью обычного квантового соотношения Е=%и>. Теперь, однако, вид
зависимости Е от k значительно усложняется и определяется потенциальной
функцией U. Скорость электрона v описывается равенством (см. [4], §§5.1,
5.2)
(*•""
= •§. (2.10)
Лишь в том случае, когда E=P2i2m, имеем v-Plm, как и для свободного
электрона. Необходимо отметить одно весьма важное свойство волнового
числа Л, а также соответствующего ему квазиимпульса Р. Величина k
неоднозначно определяется волновой функцией выражения (2.7).
Действительно, это выражение можно записать в виде
(х) = {и* (х) exp [- } exp [i + *] =
= Uk< (х)exp\ik'x\, (2.П)
где
kf=k+~f-. (2.12)
Волновая функция, описываемая формулой (2.11), является решением
уравнения Шредингера для того же значения энергии, что и волновая функция
(2.7), причем (х) тоже является периодической функцией с периодом d, так
что kuk' полностью эквивалентны. Итак, энергия Е является
периодической функцией k с перио-
дом 2nld. Это позволяет ограничить область изменения k интервалом 2 nld,
