Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
полупроводники первого класса, поскольку энергетические переходы,
отвечающие за собственное поглощение, в них несколько проще, чем в
полупроводниках второго класса. Будем считать, что зоны не вырождены, как
это показано на рис, 10.5, где принято кт1п=кшах=0.
10.5.1. ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ, kmin=km4X
В процессе поглощения квазиимпульс должен сохраняться (см. ниже). Импульс
Рр падающего фотона равен (ЛД)1", где 1Ф- единичный вектор в направлении
движения фотона до поглощения и Я, - длина волны соответствующего
излучения. Закон сохранения импульса имеет вид
P.-Pi = (AA)i0, (10.65)
где Pi и Р2- квазиимпульсы электрона до и после поглощения фотона. Если
обозначить через А.е длину волны для электрона с квазиимпульсом
Pi(|Pi|=AA.e), то при энергии электрона порядка кТ, где 7'=300К, значение
её окажется примерно равным 5-10-7 см; если А. соответствует длине волны,
лежащей в близкой ИК-области спектра, например А,= 10~* см, то А,^>Ае. В
этом случае |Pi-Р2| - очень малая величина по сравненцю с |РХ | и можно
положить Р2=Р2.
Сохранение квазиимпульса является следствием законов квантовой механики.
Вероятность перехода между двумя состояниями под действием возмущения F
пропорциональна квадрату матричного элемента |Л1(/|4, где
(10.66)
а ф,- и ф/ - волновые функции начального и конечного состояний. В нашем
случае F имеет вид
2л1 (г-10)
346
10. Оптические и высокочастотные явления
а
¦Фх = (г) ехР [i (ki ¦ Г)]., (10.67)
^/ = ^*Лг)ехр[1 (к2г)] (10.68)
(см. разд. 2.2). Таким образом, подынтегральная функция (10.66) содержит
множитель
ехр [i -k2-f- -rj ,
который очень быстро и периодически изменяется, за исключением случая,
когда
k1-k2 + -^ = 0. (10.69)
При всех значениях kj и к2, не удовлетворяющих этому равенству, величина
Mif ничтожно мала. Умножая обе части (10.69) на %, получаем формулу
(10.65), поскольку k=Pth.
Таким образом, мы приходим к выводу, что единственными "разрешенными"
переходами из зоны в зону в этом случае являются "вертикальные" переходы,
которым соответствует "правило отбора" в виде Дк=0. Это показано на рис.
10.5. Интересно отметить, что электрон с квазиимпульсом Pi из валентной
зоны переходит в зону проводимости в состояние с квазиимпульсом Рь
оставляя в заполненной зоне дырку, движущуюся со скоростью -Pi/mh (см.
разд. 2.5). Таким образом, генерируемые светом свободные электрон и дырка
должны двигаться в противоположных направлениях. В этом случае
минимальная частота излучения, при которой еще возможен прямой переход, в
точности определяется равенством (10,12). Таким образом, если в этой
области частот нет никаких других типов переходов, которые могли бы
конкурировать с только что рассмотренным, то частота, соответствующая
краю собственного поглощения, определяется равенством (10.12). В связи с
этим представляет значительный интерес выяснить вид спектра поглощения у
края собственного поглощения со стороны коротких длин волн. Форма
спектральной кривой поглощения зависит от того, имеются ли наряду с
законом сохранения квазиимпульса еще и другие правила отбора или нет, т.
е. от конкретного вида функций Uht(г) и Uhi(г) в выражениях (10.67) и
(10.68). Если эти функции таковы, что'вероятность перехода Ph отлична от
нуля, то Ph будет очень слабо зависеть от к. Рассмотрим переход электрона
из состояния в валентной зоне с волновым вектором к, лежащим в интервале
от к до k+dk. Энергия фотона, индуцирующего переход, определяется
соотношением
Av = ?c(k) -?v(k). (W-70)
С другой стороны, вероятность поглощения кванта с частотой, лежащей в
интервале dv, пропорциональна числу состояний в
10. Оптические и высокочастотные явления
347
валентной зоне с энергиями от -ДЕ-Е' до -ДЕ-Е'-dE'. Допустим на время,
что энергия у дна зоны проводимости вблизи к=0 очень слабо зависит от к,
т. е. что Ес (к) в этой области можно считать постоянным. Тогда из
соотношения Ev (к)=-ДЕ-Е' следует, что
hdv dEv (k) = dE'. (10.71)
Число переходов Nxdv в интервале частот.dv определяется как
Ntdv = PkN (?') dE',
где N (E')dE' - число состояний с энергией, лежащей в интервале Е',
E'+dE'. Из предыдущего известно, что
N (Е') = АЕ',\ (10.72)
где А-некоторая постоянная (см. разд. 2.3). Поскольку Е' = =liv-ДЕ [из
(10.70)1, то коэффициент поглощения ad можно записать в виде
ал = А'Рк(кч-ЬЕу\ hv > АЕ,
ad = 0, hv^.AE, ^ ' ^
где А' -некоторая постоянная. Если теперь учесть зависимость Ес от к, то
получим
Таким образом, учет зависимости Ес от k приводит лишь к умножению
коэффициента поглощения на постоянную величину. Поскольку, как уже было
сказано, вероятность Pk очень слабо зависит от к, коэффициент поглощения
можно представить в виде
ad = B(Av-Д?)'/., hv > АЕ, /|Л,,Ч
ad = 0, hv^.AE, ^ ' ^
где В - некоторая постоянная. Это соотношение справедливо, естественно,
лишь в ограниченной области значений (hv-ДЕ). При более высоких значениях
(hv-ДЕ) коэффициент поглощения достигает области, где он почти не зависит
от частоты v падающего излучения. Детальный ход кривой ad(v) на этом
