Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
где справедливо соотношение
(9.64)
(9.65)
320
9. Рекомбинация электронов и дырок
В качестве второго граничного условия примем, что А/>->-51етр, если дс-
voo. Тогда решение, удовлетворяющее уравнению (9.64), будет иметь вид
Др = ApiC- x/lp + ^етр. (9.66)
Используя граничное условие при дс=0, получаем
_?^Л=5(Др1 + ЯеТ), (9.67)
откуда
Д*=-^р' (968)
так как Dh/'Lp=Lp/Tp. Таким образом, имеем
а величина Ар при х=0, Ар0, определяется выражением
Ай=Ял(1-1^)- (9-70)
Уменьшение величины Др вблизи поверхности, обусловленное поверхностной
рекомбинацией, сказывается, как и ожидалось, толь-
ко на расстояниях не более нескольких Lp от поверхности. Степень
уменьшения Ар зависит от отношения s/vv, где ир- скорость, равная Lp/tp.
При Lp=0,05cm итр=100мкс, что типично для германия, получим ир=500 см-с-
1. Если s^>up, то Ар0 очень мало, и уменьшение концентрации избыточных
дырок вблизи поверхности будет значительным.
9.9. Среднее время жизни в нитевидных образцах и тонких полосках
Общее решение задачи о движении электронов и дырок под действием
электрического поля в однородном кристалле произвольной формы и с учетом
влияния скорости поверхностной рекомбинации элементарными методами
получить нельзя. Некоторые математические трудности, связанные с такого
рода задачей, проанализировал Ван Русбрек [38], который получил довольно
общие решения. Однако для ряда образцов простых геометрических форм можно
дать простые решения, из которых нетрудно усмотреть общие черты эффекта
поверхностной рекомбинации. Подобным примером является тонкий длинный
стержень или нить с прямоугольным поперечным сечением. Эту задачу
рассмотрел также Шокли [39], показавший что для ряда случаев, относящихся
к движению электронов в ни-
9. Рекомбинация электронов и дырок
321
тевидных образцах, можно получить простые аналитические решения.
Рассмотрим более простую задачу. Пусть имеется длинная тонкая полоска,
длина и ширина которой значительно больше ее толщины. Направим ось г по
длине полоски параллельно ее краям, ось у - поперек полоски, а ось х -
перпендикулярно плоскости полоски. Полоска ограничена плоскостями х=±а,
так что толщина ее равна 2а. Для простоты предположим, что скорости
поверхностной рекомбинации одинаковы для обеих сторон полоски.
Прежде всего определим среднюю концентрацию носителей заряда, создаваемых
источником, который равномерно по всему объему образца генерирует
электронно-дырочные пары с темпом Sde. Этого можно добиться, например,
облучая полоску светом, коэффициент поглощения а которого значительно
меньше а-1. Теперь нужно решить уравнение (9.64) с граничными условиями
(9.65) при jс=а и х=-а. Соответствующее решение (из соображений
симметрии) имеет вид
При помощи уравнения Др=3?етр можем определить среднюю величину тр для
полоски. Если a<^Lp, то величина Др оказывается примерно постоянной и
равной
Решение соответствующей задачи для стержня прямоугольного сечения
оказывается более сложным, так как приходится использовать неоднородные
граничные условия. Если размеры прямоугольного сечения составляют 2а и 25
и a<^Lp, 5<^LP, то можно показать, что приблизительно выполняется
соотношение
(9.71)
Используя граничные условия, получаем
(9.72)
Средняя величина Др, т. е. Др, дается выражением
(9.73)
(9.74)
так что
(9.75)
322
9. Рекомбинация электронов и дырок
Рассмотрим теперь, как первоначально равномерная по объему концентрация
избыточных носителей заряда уменьшается со временем после выключения
источника генерации. Для этого решим уравнение
= Щ + (9.77)
Решение, очевидно, должно содержать как t, так и х. Решения этого
уравнения, рассмотренные в разд. 7.6, здесь использовать нельзя,
поскольку они не описывают первоначальное равномерное распределение
избыточных носителей заряда. Будем искать решение в виде Лр=ехр (ах-р/) и
убедимся, что такое решение действительно существует. Соотношение между
аир находится подстановкой Др в уравнение (9.77), что дает
Dha" = i-p. (9.78)
Из физических соображений следует, что спад будет более быстрый, чем
1/тр, так что величина 1/тр-р будет отрицательной. Таким образом, мы
приходим к решению в тригонометрических функциях, причем из условий
симметрии его можно записать в следующем виде:
Др = Лсоэал:ехр(-р/). (9.79)
Теперь соотношение между аир будет иметь вид
Dha* = p- (9.80)
Используя граничное условие (9.65), получаем уравнение
Z)haasinaa = ascosaa. (9.81)
Уравнение
ntgri=g (9.82)
является трансцендентным с бесконечным числом корней тц,
т]2,
т)3, . . . и т. д. Для корня т)г получим аг=т\г/а и тогда
р дается
выражением
P, = i+D"(^)'. (9.83)
Начальное значение Др при х=0, которое обозначим Др0, можно представить в
виде ряда Фурье
Ape = 2^rCOSTlrJC (-a а), (9.84)
причем нет необходимости определять значения коэффициентов Ат, поскольку
справедливы неравенства т)1<Сг)2<Сг)з-<..аиз уравнения (9.79) следует,
что решения, соответствующие корням высших
9. Рекомбинация электронов к дырок
