Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
примесях, необходимо рассчитать <т,> по формуле
(8.35)
л
ас = 2я [ (1-cos 0) а (0) sin 0 dQ -
= - 4я/?21п sin
(^)=2я/?Чп(1+^). (8.36)
16л (2те)'^ е2Ео о 12Ш1
. (8.38)
о
Логарифмический член представляет собой сравнительно медленно меняющуюся
функцию, поэтому его можно вынести за знак интеграла с заменой Е на Ет"=3
kТ. ?тах представляет собой значение
8. Рассеяние электронов и дырок 289
Е в максимуме остающейся под знаком интеграла части подынтегральной
функции. Таким путем можно получить формулу
" х_ч 64л,/*еге?(2кГ),/*^1_ Г, , /12лее0кГ\аЦ-1 /0
I*.--------------{1п[' + (й^Л} • (8-Ю)
которую обычно называют формулой Конуэлл - Вайскопфа *>.
Другой подход к проблеме "отсечения" далекой части кулоновского поля
использован в работах Дингля. [22] и Брукса а). Ими учтено экранирование
кулоновского поля ионизованного примесного центра свободными электронами
и дырками. Поле заряженного центра обусловливает изменение средней
плотности свободных зарядов вокруг центра. Пусть п - предельная
концентрация свободных зарядов при больших г, а п' - переменная
концентрация носителей заряда на близких расстояниях г от центра.
Очевидно, что если на малых расстояниях от центра электростатический
потенциал Ф обладает сферической симметрией, то он должен подчиняться
уравнению Пуассона
Считая систему свободных носителей заряда невырожденной, можем
использовать функцию Больцмана
п = лехр
30 • <8"')
Уравнение (8.40) с учетом (8.41) приобретает следующий вид:
т^-гЬФМ- <8-42>
Ранее мы уже выяснили, что на расстояниях порядка rm, где учет
экранирования становится существенным, еф<^кТ. В этом приближении
выражение (8.42) упрощается:
0-г(^). (8.43)
Решение этого уравнения имеет вид
<Р = Фо
е-т
где 1Р=е0ек77егя. При r-И) ф->Ze/4nee0r, так что
<Р = 4<844>
*> См. [23]. Аналогичная теория применена к примесям в металлах Моттом
[24].
290
8. Рассеяние электронов и дырок
Длина d носит название дебаевской длины. Потенциал, аналогичный
(8.44), определяет также поле вблизи иона в электролите.
Дифференциальное сечение рассеяния а (0) в поле, описываемом потенциалом
ф, определяется выражением [25]
<8-45:
где R определено формулой (8.34). При такой зависимости <т(0] можно
произвести усреднение по углам 0 от 0 до л. Интегральное сечение ас
получается в виде
2 • 6 J ¦ 6 \
5 [sin(r) 2-+(й*/2те1*0^
-2я/г*[1п(1+п-г$р]. (8-46;
где
I А* %Ч*п
Р* 4m|uad* 8meee0k7' Е
Величина ра, как правило, велика, и поэтому формулу (8.46) можно
переписать в виде
ас = 2я/?*1п (Ра). (8.46а]
Предположим, что n=Nlt тогда время релаксации т1 определяется
зависимостью
1 . г'еЩ In (Ра)
Ъ 16n(2me)l/a?3/Veo** V 4
После усреднения по Е получим для подвижности выражение е . .
64n1/Ve2(2kn8/a Г. /24meka7'aee0\]-I
KlZ.e,'mJ [^(-дрдгЛ • <8-47а>
Если полупроводник содержит как доноры, так и акцепторы в ионизованном
состоянии и в сопоставимых концентрациях, то формула (8.47а) несколько
изменяется. Вместо величины W,Z? вне квадратных скобок необходимо
подставить величину ZaDWID-fZ^WlA, где Zd, а - зарядовое число
соответствующих ионов примеси. Что касается квадратных скобок, то здесь
под Ni следует понимать полную концентрацию свободных носителей заряда.
Рассеяние на ионизованных примесях в условиях вырождения исследовал
Мэнсфилд [26], который рассмотрел также вопрос о совместном решеточно-
примесном рассеянии в условиях вырождения.
Выражения (8.39) и (8.47а) для подвижности р, отличаются в основном лишь
соответствующими логарифмическими множителями, Величину Гт=/?р можно
считать эквивалентным радиусом
8. Рассеяние электронов и дырок
291
"отсечения" кулоновского поля во втором методе. Полагая ?= 3k Т, имеем
r2 = = Щт\'т?г (а" = 0,53• 10-* см).
24л2ее0Й,2 N\ 6л(е)в0^1 v '
При Z= 1 и те=т0, е= 10 получаем (концентрация взята в см3)
см2.
ю*
' Ш
NI
Для концентрации М,ягЮ15 см-9 нет заметной разницы между множителями In
(/?//?•) и In (г2,//?2). Однако выражение (8.47а) для р,
предпочтительнее, так как оно основано на более точных теоретических
предпосылках. Кроме того, внося соответствующие поправки в (8.47а), можно
учесть то обстоятельство, что при низких температурах, где примесное
рассеяние играет наиболее важную роль, многие примесные центры перестают
быть ионизованными.
Когда поверхности постоянной энергии не обладают сфрической симметрией,
точный расчет времени релаксации т, для рассеяния на ионизованных
примесях затруднен. Поскольку основной вклад в рассеяние в этом случае
вносит рассеяние под малыми углами, то можно ожидать, что для
эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей множитель (те)-,/* в
формуле (8.47а) должен быть заменен на тГ 7', и т. д., если
соответственно рассматривается движение по одному из главных направлений.
Однако не совсем ясно, как при этом следует проводить усреднение при
вычислении подвижности, например, в случае полупроводников с кубической
симметрией. Можно только надеяться, что эффективная масса т*,
определяемая соотношением
