Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
8.5. Рассеяние на колебаниях решетки
Когда движущийся электрон взаимодействует с волной смещений, он может
либо рассеяться волной, либо остаться невозмущенным. Если рассеяние
произошло, то существует большая вероятность того, что угол рассеяния
окажется равным л-2tp, где <р - угол между исходным направлением
квазиимпульса электрона и нормалью к фронту волны. Не всякие волны
смещения, движущиеся в одном и том же направлении, могут рассеивать
электрон, рассеяние произойдет лишь на тех волнах, частота v8 которых
удовлетворяет условию (8.17). Максимально допустимое значение v8,
согласно этому условию, определяется из соотношения hvJEe&4u/v, где
- энергия электрона. При ?е=кТ и Т=300К имеем /iv8" "k771O=k0s, где
08=ЗОК. Верхний предел акустической ветви в спектре колебаний обычно
соответствует энергиям к0, где 0 - температура порядка ЮО-т-ЗООК, так что
эффективно рассеивают лишь колебания, относящиеся к начальному участку
акустической ветви, когда длина волны значительно больше межатомных
расстояний в кристалле.
Поскольку волны смещения могут свободно распространяться в кристалле по
всем направлениям, то рассеяние должно быть изотропным, если существует
равная вероятность столкновения электрона с соответствующими
рассеивающими фононами. Согласно принципу детального равновесия,
вероятности поглощения и испускания фонона в состоянии термодинамического
равновесия одинаковы, кроме того, вероятность поглощения фонона
пропорциональна числу имеющихся фононов. Нас интересуют фононы с
энергиями в интервале от нуля до максимального значения Ет, причем
отношение среднего числа фононов с максимальной энергией к числу фононов
с энергиями вблизи нуля равно ехр(-Ет/кТ). За исключением области низких
температур, обычно ?m/k7'<^l. Поэтому в интервале энергии (0, k0s), в
котором в основном и происходят процессы рассеяния под разными углами,
плотность фононов прак-
280
8. Рассеяние электронов и дырок
тически постоянна. Таким образом, рассеяние в этом случае должно быть
изотропным. Однако при очень низких температурах, когда число достаточно
энергичных фононов сильно уменьшается, вероятность рассеяния под большим
углом может стать очень малой. Однако, как мы увидим, при этих
температурах основную роль, вероятно, играет рассеяние на ионизованных
примесях.
Амплитуда электронной волны, рассеянной слабым периодическим потенциалом
волны смещений, пропорциональна этому потенциалу; последний в свою
очередь пропорционален амплитуде волны смещения. Вероятность рассеяния
пропорциональна квадрату амплитуды электронной волны, а следовательно, и
квадрату амплитуды волны смещений. Вместе с тем квадрат амплитуды волны
есть мера ее энергии; в случае длинных акустических волн эта энергия по
порядку величины равна kТ. Таким образом, сечение рассеяния а, должно
быть пропорционально Т\ поэтому средняя длина свободного пробега I,
обусловленная рассеянием электронов на продольных акустических
колебаниях, определяется зависимостью вида
где В\ - некоторая постоянная.
Для вычисления постоянной В, требуется подробный квантовомеханический
расчет. Такой расчет был произведен Шокли и Бар-дином [21, он полностью
подтверждает те выводы, к которым мы пришли на основе элементарных
соображений. Средняя длина свободного пробега I для полупроводника со
сферическими поверхностями постоянной энергии равна (см. [11, § 13.4.4)
где р - плотность, н, - скорость длинных волн сжатия в кристалле, Ei -
энергия, определяемая равенством
В этой формуле АЕс означает величину сдвига энергии дна зоны
проводимости, обусловленную малым изменением А К первоначального объема
кристалла V0. Величину Ei называют деформационным потенциалом. Время
релаксации т= llv определяется тогда выражением
(8.20)
(8.22)
pufh*
(8.23)
8л3 (2/ne)V* kTE\E4''
Таким образом, время г можно представить в виде
т = а?-'А7'-1, (8.24)
8. Рассеяние электронов и дырок
281
где а - постоянное число. Выше (разд. 5.3.2) мы уже воспользовались таким
видом зависимости т от энергии при рассеянии на колебаниях решетки.
Когда поверхности равной энергии не имеют сферической формы, эффективная
масса те должна быть заменена усредненной соответствующим образом
величиной. Множитель El/,n?f' в знаменателе формулы (8.23) появляется из
статического веса тех состоянлй, в которые попадает электрон после
рассеяния. Мы уже знаем (см. разд. 4.2), что в полупроводниках с одним
минимумом энергии в зоне проводимости этот множитель равен если
изоэнер-
гетические поверхности имеют вид трехосных эллипсоидов. В полупроводниках
с кубической симметрией и сферическими поверхностями равной энергии он
равен Е^'т-ттУ.'. Наконец, из формулы (8 24) следует, что подвижность р,,
обусловленная рассеянием на акустических колебаниях решетки, может быть
представлена в виде м1 = Ро(7УТ)а''*, где р0 и Г,, - некоторые
постоянные. Используя формулу (5.97) для среднего значения <т> времени
релаксации т, получаем
Аналогичным образом можно рассмотреть и рассеяние положительных дырок.
