Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
электрона до рассеяния образует угол <р с вектором Кя> т. е. с
нормалью к рассеивающим плоскостям. Тогда k-Ks=?/Cscos(p.
Аналогично л-ф представляет собой угол между направлением
Рис. 8.3. Рассеяние волн системой параллельных плоскостей.
8. Рассеяние Электронов и дырок
277
движения электрона после рассеяния и вектором К", так что к'К"-
=k'Ksсоэф, где k, k' и Ks - модули векторов к, к' и К, (рис. 8.3). Чтобы
фазы всех локальных волн, отраженных от различных точек одной и той оке
плоскости, совпадали, необходимо, чтобы Asin<p= =Jfe'sin\|>. На рис. 8.3
отрезок РО представляет собой вектор к, OQ - вектор k', OQ' - вектор -
к', а отрезок OS - перпендикуляр к К* в плоскости OPQ'. Согласно
приведенному выше соотношению, PQ' составляет прямой угол с OS. Отсюда
можно заключить, что
к-к' = АК" (8.10)
где А - некоторая постоянная. Теперь, для того чтобы совпадали фазы волн,
отраженных от различных плоскостей, отстоящих друг от друга на Х8,
необходимо, чтобы А = 1. В этом легко убедиться, положив ф=0, так как в
этом случае
k+k' = -gt=-Ks,
так что А=1. Поэтому условие рассеяния определяется формулой (8.9). Угол
рассеяния электрона 0 равен (л-(р-ф). Поскольку доплеровское смещение
мало, то k'tak, <рдаф, 0дая-2<р, так что
Ks = \k'- Jfe| = 2Jfesiny0. (8.11)
Для того чтобы фаза падающей и отраженной волн в точке, движущейся вместе
с волной, оставалась постоянной (условие отражения), должны совпадать
фазы в (8.7) и (8.8). Таким образом, после замены г на (KtIKs)ut, где
и=<о"/К" получим
(k_*A(f-а, = <к' • *'>и.-о)'. (8.12)
л* л*
Этой формулой и определяется доплеровское смещение в отраженной волне. Из
(8.12) следует
(c)-(c)' = > (8.13)
или, используя формулу (8.11),
(c)-о)'=/С"ы=(о8. (8.14)
Аналогичным образом для волн, бегущих в обратном направлении, можно
записать
(c)-(c)'=-К"и=-(c),. (8.15)
Таким образом, разность (c)-(c)' может принимать два возможных
значения:
(c)-(c)' = ±(c)#. (8.16)
278
8. Рассеяние электронов и дырок
Умножая обе части равенства (8.16) на А, получаем для изменения энергии
электрона при рассеянии формулу
? -?' = ±hxs. (8.17)
Физический смысл этой формулы заключается в том, что при рассеянии
электрон может терять или приобретать лишь дискретную порцию энергии h\s,
на которую может измениться полная энергия кристалла.
Остается еще доказать, что в каждом акте рассеяния изменение энергии
электрона мало по сравнению со средней энергией электрона, так что
действительно можно положить kzszk'. Комбинируя равенства (8.11) и
(8.17), можно показать, что изменение энергии б?=?'-Е при рассеянии
электрона на угол 6 составляет
6? " ± 2mvu sin ^ 6 j , (8.18)
где v - скорость электрона, причем положительный знак соответствует
поглощению, а отрицательный - излучению энергии. Наибольшему изменению
энергии при рассеянии соответствует значение 0=л. В этом случае
|6?|/?"4ц/и. Так как отношение ulv мало, за исключением случая низких
температур, то действительно |6?|/?<* 1.
Рассмотрим теперь изменение квазиимпульса Р электронов при рассеянии. Из
(8.10) следует, что
Р-Р' = А(к-к') = Ак*. (8.19)
Таким образом, Aks можно трактовать как импульс, приобретаемый решеткой
вследствие соударения с электроном, так что соответствующий прирост
энергии составляет hxs. Приобретенный решеткой импульс можно записать
также в виде h/Xs. Этот процесс аналогичен возникновению фотона с
энергией hx и импульсом h/X. Кванты
колебаний решетки, которые можно рассматривать как возникшие в
результате взаимодействия электронов с атомами кристалла, называют
фононами, а процессы, аналогичные рассмотренным выше,- однофононными
процессами. Кроме однофононных процессов рассеяния, возможно также
рассеяние с образованием или поглощением более чем одного фонона,
поскольку колебания решетки не описываются в точности простыми
гармоническими волнами, т. е. эффекты ангармоничности дают члены с
частотами 2v3 и т. д. Однако вероятность таких процессов весьма мала по
сравнению с вероятностью однофононных процессов, и они здесь
рассматриваться не будут.
Теперь можно понять, почему рассеяние электронов на нулевых колебаниях
решетки невозможно. Вблизи абсолютного нуля температуры колебания решетки
находятся в своем наинизшем энергетическом состоянии и поэтому не могут
передать электрону даже
8. Рассеяние электронов и дырок
279
одного кванта энергии Av". С другой стороны, энергия электрона также
слишком мала для того, чтобы фон он ы возникли за счет собственной
энергии электрона, поэтому электрон не может рассеяться, т. е. изменить
значение своего волнового вектора к. В дальнейшем (см. разд. 10.5.3 и
10.8) мы рассмотрим важную роль фононов в процессах поглощения
инфракрасного излучения с помощью механизма межзонных переходов в
полупроводниках. Теперь же мы займемся более подробным рассмотрением
процессов рассеяния электронов на колебаниях решетки, чтобы выяснить
зависимость времени релаксации электрона от энергии, а также от
температуры кристалла.
