Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Земли и Луны. Умножив эти уравнения на х, у, г и сложив, получим
х, у, * X, у, г
Интегрируя, найдем
2T = Jc* + p + i* = 2?-$ + 2/ *?dt+K, (1)
где — постоянная интегрирования, а через d'R/dt обозна-
чена производная от R по времени, входящему лишь посредством координат
Луны.
Пусть v и 0 означают эклиптическую долготу и широту. Тогда
х = rcoswcos0, у = г sin© cos 0, z = rsin 6,
откуда
27* = г2 + r2»2 cos2 0 + гФ. (2)
*) ТЬёоПе Analytlque du Systdme du Monde, IV, 1846.
§ I7j0t. Уравнения движения
341
В координатах г, v и 0 уравнения Лагранжа имеют вид
>'+? = ™W0 + r04-iFs7{2r-'2)+TF’ <3>
-?г(гЪ cos* 0) = -^р W
(г20) = —г2»2 sin 0 cos 0, (5)
так как ?/ = (р/г) + /?.
При помощи формул (1) и (2) мы запишем уравнение (3) в виде
г?И=Г7+'т+!1т"+'' <6>
Пусть
S = tg0. (7)
Тогда после интегрирования уравнение (4) примет вид
« = -?0+*2> + -Ц5?1 / ^dt, (8)
где h—постоянная интегрирования. Правую часть равенства (8) можно
разложить в периодический ряд, постоянную часть которого обозначим через
п. Тогда
© = я< + е + п. ч., (9)
где е — постоянная интегрирования.
Преобразуем теперь уравнение (5). Так как z — г sin 0, то будем иметь
z — г sin 0 + г20^-^-^ j, г = (>• _ г0-2) sin 0 + -§i <г2®)*
Поэтому из уравнений (3) и (5) найдем, что
" й | W , cos в dR
г 7Js,n0H др- s,n © Ч-------—-р-.
Но dR/дв = (dR/ds) sec2 0; следовательно, используя формулу (7), получаем
« I (ur _ s dR . \ГТТ* dR Последнее уравнение запишем в виде
d* / rs \ , (i rs _ s dR , dR /11ч
dt* vKl + e*/ г» Vl + s* Kl + s* dr r ds * ' '
342
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
§ 17.02. Постоянные интегрирования
Решение выведенных нами в предыдущем параграфе трех уравнений движения —
уравнений (б), (4) н (10) или (11), — каждое из которых второго порядка,
должно содержать б постоянных интегрирования. При выводе уравнений (8) и
(9) из уравнения (4) мы ввели две постоянные интегрирования: А и е.
Оставшиеся два уравнения дадут еще четыре постоянные: две из них мы
обозначим через е и •j = tg/, а две другие — через й и 2. Но, кроме
этого, в уравнении (1) § 17.01 были введены постоянные К и а. Обращаясь,
далее, к уравнениям (8) и (9) § 17.01, легко замечаем, что постоянная я в
последнем из них является функцией Л. Определим теперь а согласно формуле
р. = я2я3. (1)
Следовательно, а есть функция А. Теперь мы имеем семь постоянных А, е, I,
К, е, 2, й. Следовательно, должно существовать одно соотношение,
связывающее некоторые из этих семи постоянных. Это соотношение может быть
получено при помощи уравнения (3) § 17.01, которое, если ввести в него s
и s = 0(l-|-s2), мы запишем следующим образом:
? , Л___________________?_______________?!__ _1Л1 /оч
гг3 1-fs* (1 + S*)2 Г дг ' К )
Если решение уравнений, определяющих г, v и s, выраженные через семь
постоянных, подставить в уравнение (2), то оно даст требуемое
соотношение.
Очевидно, что независимую постоянную А можно заменить постоянной а или,
если потребуется, постоянной я.
Соотношение между я и А в случае эллиптической орбиты может быть выведено
весьма просто. Из уравнения (8) § 17.01 мы имеем
r2v cos2 0 = А0,
где через А0 обозначена постоянная интегрирования в случае эллиптической
орбиты. Пусть гх означает проекцию г на плоскость эклиптики. Тогда г, = г
cos 0 и r\v = А0. Но r\v есть проекция У1^(Г — е2) на плоскость
эклиптики. Поэтому
А0 = О — еЬ cos / = -^р===^. (3)
Постоянную интегрирования А, входящую в уравнение (8) § 17.01, удобно
записать в виде
А = А0(1+8А). (4)
§ 17.04. Движение перигея и узла
343
Тогда мы сможем рассматривать 5Л как независимую постоянную
интегрирования вместо Л, причем Л0 будет выражаться формулой (3). Кроме
того, постоянную К, входящую в уравнение (6) § 17.01, мы заменим
выражением а?п2ЪЬ.
§ 17.03. Сводка уравнений движения
Для удобства мы соберем вместе основные уравнения. Если р
заменить на п2а3 и К — на а2п2ЬЬ, то они запишутся в виде
(2,
d* ( 2s } | л*а3 _ rs s dR _j_ VI -(-s2 dR ^
г3 * yT+s* ~ /T^Fs* dr _t~ r ds }
или
"z + n2a3 + (4)
^ r3 \Tl 4-s3 dr^r ds w
и, кроме того.
г , ri2a3 v* s* 1 dR
(5)
3 1 + s2 (1 -j- s2)2 ~' r dr’
В уравнении (2) постоянная интегрирования А имеет вид
А=А0(1 + 8А), (6)
где А0 — постоянная, соответствующая эллиптическому движению. Она
выражается формулой
__ па*У\-е*
*»—У1+,. •
Уравнение (1) удобно называть уравнением для радиуса-вектора, (2) —
уравнением для долготы, а (3) или (4)—у равнения ни для широты.
§ 17.04. Движение перигея и узла
Если рассматривать невозмущенную орбиту Луны, то долгота перигея ш и
долгота узла 2 будут, конечно, постоянными. Но наблюдения показывают, что
в результате солнечных возмущений ш быстро возрастает, а 2 быстро
уменьшается со временем. Таким образом, рассматривая <5 и 2 как
постоянные, мы можем записать
344
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
ш и 2 в момент t в виде
ш = 5>0+(1 — с) nt, 2 = 20+(1—g) nt, (1)
где е и g — постоянные, которые нужно определить, а ш0 и 20—по* стоянные,
равные <5 и 2 при t — 0.
