Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
формуле могут быть представлены в виде mxL где L выражается так:
L — 'EjDi sin/ei + 2^ cos (2)
причем /=1, 2, 3, а численные значения коэффициентов D и Е известны.
Пусть
А = е, sin («р A = eiCos<i>1. (3)
Тогда третья сумма в формуле (1) может быть записана в виде
mxhH-\-mxkK,
где каждая из величин Н и К имеет вид (2), конечно с другими числовыми
значениями коэффициентов D и Е. Мы можем теперь записать Рх в виде
Рх = mxhH-\-mxkK -\-mxL, (4)
где Н, К и L — тригонометрические функции е,.
Пусть а означает разность \ — \е между наблюдаемой истинной долготой и
истинной долготой, вычисленной Буваром. Тогда условное уравнение Леверье
можно записать следующим образом:
а =* а, Дя + dj Ае + а3 Де + а4 Дй + mxhH-\- mxkK + mxL, (5)
где первые четыре члена правой части, обусловленные ошибками Ал. Де, Ае,
Аш в элементах Бувара, содержатся в формуле (6) § 16.02.
Комбинируя „старые* и „новые4 наблюдения в удобные группы (последние
разделены интервалом в 7 лет), Леверье получил 18 уравнений
336
Глава t6. Открытие Нептуна
вида (5), в которые входило 8 неизвестных: Дя, Де, Ае, Д<1>; mv inxh,
тхК, е,, причем ?j входит лишь в величины Н, К и L.
Леверье сначала попытался решить эти уравнения следующим образом. Если
каждое из уравнений (5) предполагается вполне точным в том смысле, что в
Х0 нет ошибок наблюдений и, следовательно, их нет ив з, то исключение
первых семи неизвестных из любых восьми уравнений вида (5) даст
трансцендентное (и очень сложное) уравнение относительно лишь одной
неизвестной et. Это уравнение поэтому теоретически может быть решено
относительно е,. После того как численное значение б, будет подставлено в
семь из восьми уравнений, то вновь полученные уравнения дадут возможность
найти численные значения Ап, Де, mxk. Однако он не смог получить
удовлетворительного решения трансцендентного уравнения (вследствие
существования не пренебрежимо малых случайных ошибок наблюдений , которое
привело бы к положительному значению от,.
§ 16.11. Решение Леверье
1) Леверье пошел совершенно по другому пути, решив, что ошибки в
истинной долготе, вычисленной по „старым" наблюдениям, должны быть
учтены.
Он сначала выбрал 4 уравнения (5) § 16.10 для значительно удаленных друг
от друга эпох: 1715, 1775, 1810 и 1845 гг. При этом он предположил: а)
что ошибки в з для 1715 и 1775 гг. равнялись соответственно р и
q и б) что ошибки для 1810 и 1845 гг.
были равны пулю, поскольку последних наблюдений имеется очень большое
число и они выполнены при помощи инструментов, обладающих высокой
точностью. Обозначая правую часть уравнения (5) предыдущего параграфа
через F, он получил следующие 4 уравнения:
+ Р< ^2 = 02 + ?<
F3 = a3, /% = з4, (1)
где в, з4 — значения з для рассматриваемых эпох. Решая эти 4
уравнения относительно Ап, Де, Ае и Аш, он нашел
Ап = f(ntx, mxh, mxk, р, q, е,) (2)
и три аналогичных равенства для Де, Ае и Аш. В этих равенствах функции /
являются линейными относительно mv mxh, mxk и трансцендентными
относительно еР
Затем Леверье из формул вида (2) подставил выражения для Ап, Де, Ае и Дш
в оставшиеся 14 условных уравнений, получив, таким образом, 14 уравнений,
линейных относительно тх, mxh, mxk, р и q и трансцендентных относительно
е,. Из этих уравнений он сгруппировал вместе 4 для 1782, 1789, 1796 и
1801 гг. и объединил вместе
§ 16.11. Решение Леверье
337
другие 4 — для 1817, 1824, 1831 и 1838 гг., приведя таким образом
8 уравнений к двум уравнениям, каждое из которых линейно
относительно тх, mxh, mxk, png. Решив эти два уравнения относительно mxh
и mxk, он получил
mxh = 0xmx-\-G2p-\-03q-\-%x, (3)
mxk = gxmx-{-g2p-{-g3q-{-x2, (4)
где О и g— трансцендентные функции Sj, a х1( Xj— числовые постоянные,
связанные с а.
Выражения (3) и (4) для mxh, mxk затем подставляются в 4 уравнения (2),
что дает возможность получить выражения для Дл, Де, Де, Дй, каждое из
которых имеет вид правой части равенств (3) или (4). Когда все это
выполнено, мы будем иметь 6 уравнений для Дл, Де, Де, Дй и mxh, mxk вида
(3) или (4).
До сих пор было использовано всего 12 условных уравнений: 8 уравнений в
только что описанной процедуре и 4 уравнения представляют собой группу
уравнений (1). Следовательно, остается еще 6 условных уравнений.
Обозначим правую часть уравнения (5) § 16.10 через F, так что это
условное уравнение может быть записано в виде
a — F. (5)
Подставим в F выражения для Дл, Де, Де, Дш и mxh, mxk. Тогда если через р
обозначить разность F — а, то каждое уравнение приведется к виду
р = а -(- Ьтх -(- ср + dq, (6)
где Ь, с и d — трансцендентные функции е}.
Из наблюдений, которые использовались при составлении уравнений (6),
Леверье рассмотрел два „старых” наблюдения, относящихся к 1690 и 1747
гг., как критические, и для них значения а, Ь, с и d были найдены при
следующих последовательных значениях О3, 9. 18, .... 351°. Для того чтобы
проиллюстрировать полученные результаты, приведем разности р для ej —? 0
и е, = 252°:
