Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
псевдонормальным уравнениям, составляющим две группы по 7 уравнений в
каждой, причем уравнения первой группы имеют следующий вид:
з
С = а, Де + а2 Д*1 + а3 Длг2 + 2 (А А + стрт), (1)
т= 1
а уравнения второй группы —
С' = а[ Дп + а'2 Дуг а3 &У2 Ч~ 21 (А А 4- С'Г4Г)- (2)
Воспользовавшись некоторыми особенностями уравнений (1) и (2) и исключив
из них Де, Ду/, Дл:,, Ду,, Дл:2, Ду2, Адамс пришел к двум уравнениям вида
D = 2 (a A + <А, + lpr + р;?г). (3)
Рассмотрим теперь „старые* наблюдения, из которых, как уже указывалось,
Адамс вывел 9 условных уравнений. Эти уравнения не
§ 16.09. Решение Адамса
333
обладают, конечно, такой систематичностью, как уравнения, выведенные из
„новых" наблюдений. При помощи метода, в общих чертах аналогичного тому,
который использовался при выводе уравнений типа (3), Адамс получил два
уравнения вида
Двух уравнений (3) и двух уравнений (4), таким образом, вполне достаточно
для того, чтобы определить 4 неизвестные величины /и,, О, р3 и <73.
Затем при помощи первого из уравнений (3) Адамс исключил члены, стоящие в
левых частях второго из уравнений (3) и двух уравнений (4), и получил
таким образом группу из трех уравнений вида
О - 2 (СД + С% + Drpt + D'rqr). (5)
Дазее, согласно уравнениям (5), (8) и (9) § 16.06, А,, Л2, Л3, А,, А2,
А3, рр р.2, qy, q2 выражаются через /я,, 0, р3 и q3 (при этом
предполагается, что известное численное значение [3 подставлено в эти
уравнения). Если мы обозначим р3/т1 и q3/ml соответственно через р и q,
то увидим, что каждое из уравнений (5) приведется к виду з
О = 2 (агsin cos г®) +
1
ср dq-\- е(р cos 0 —sin 0) —j-/(/? sin 0 —j-^ cos 0)-f-+ S (P cos 20 — q
sin 20) -f- /(p sin 20 -f- q cos 20), (6)
где все численные значения коэффициентов а, Ь, с, d, е, /, g и /
известны.
§ 16.09. Решение Адамса
При помощи метода последовательных приближений Адамс решил три уравнения
(6) и получил следующие результаты:
0==е — е, = — 46°55\ р == = 138",92.
т 1
<7 == = — 109",83.
от,
Для момента 1810,328 численное значение е равно 217° 35'. Поэтому,
используя значение 0, сразу же находим е, = 264° 50'.
Средняя долгота /, (= nxt -f- е,) может быть теперь найдена для любого
противостояния, так как л, известно, поскольку было принято, что
a\ax=i0,515. Далее, в наших обозначениях, fljssnjf и,
Г лава 16. Открытие Нептуна
согласно § 16.07, я, = 4’ 48',5. При /=12, т. е. после 36 синодических
периодов, что соответствует противостоянию 1846,762, или 6 октября 1846
г., я,/ = 57а42', и, следовательно, средняя долгота /, неизвестной
планеты, если исправить ее на 30' за прецессию, будет
/, = 323° 2', 6 октября 1846 г.
Из уравнений (6) и (7) § 16.06, если подставить в них числовые значения
и8 и я9, имеем
р = = 33",93 sin (39 — Р) — 63",41 е, sin (30 — р,) = 138",92,
q sa — - J- = 33",93 cos (30 — P) — 63^,41^ cos (30 — p) = — 108",83.
где P, = e— Sp
Так как 0 в р известны, то, решая эти уравнения, получим
«, = 2.4123. р, = 279°14/.
Отсюда находим, что для выбранной эпохи ш1 = 298°41/, и после исправления
за прецессию долгота перигелия неизвестной планеты на 6 октября 1946 г.
будет равна
<5, = 299° 11'.
Вспоминая, что е1 в 20 раз больше эксцентриситета неизвестной планеты, мы
получим
ех = 0,1206.
Масса неизвестной планеты, выраженная в долях солнечной массы, будет
иметь следующее значение:
1
*ie 6666 *
Сокращенные условные уравнения, выраженные через Ал, Дг, Де, Д<5; /и,,
е,, «р ш,, теперь дают возможность найти первую группу этих величин.
Если значения всех неизвестных величин подставить в условные уравнения,
то в каждом случае можно найти невязки между теорией Адамса (а/й, =
0,515) и наблюдениями. Почти во всех случаях найденные невязки были очень
малыми и сравнимыми по величине с возможными ошибками наблюдений. Самые
поздние наблюдения, использованные Адамсом, относились к 1842 г. После
того как его вычисления были закончены, оказалось, что эти невязки в
1843—1845 гг. значительно увеличились. Тогда Адамс, не повторяя всех
вычислений, с учетом новых наблюдений, сделал заключение, что если а/а, =
0,574, то все отклонения практически исчезнут.
§ 16.10. Условные уравнения Леверье
335
§ 16.10. Условные уравнения Леверье
Члены возмущения Рх истинной долготы, использованные Леверье, выражаются
формулой
Рх =а тх 2 Ах sin [/ (nt — nxt + s — e,)] -)-
—|— fftjC 2 &i sin [(^ -— 1) (nt —|— s) — inxt — /8, —)— (5] —|—
-\-mxex 2^fsin[(^ — 1) (я*+ s) — lnxt — /8! + *,], (1)
где /=1, 2, 3, а коэффициенты А, В и С являются функциями a и ax. Как
указывалось ранее, Леверье, следуя правилу Боде, прежде всего
предположил, что ах = 2а. Это дало возможность иайтн численные значения
пх и коэффициентов А, В и С. Все члены в формуле (1) имеют ту же форму,
которую использовал и Адамс, с той лишь разницей, что член с множителем
и10, учтенный Адамсом, не был включен в уравнение (1) Леверье.
Если численные значения е, & и е, найденные Буварам, а также численные
значения а и ах подставить в формулу (1), то первые две суммы в этой
