Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Н' (Q, Р, /). Следовательно, формулы (9) представляют собой критерий
каноничности. Поэтому
• dH'(Q,P,t) а __ dH'(Q,P,t)
— щ • Pt------------------------щ---• О1)
Другими словами, новые переменные Q и Р удовлетворяют каноническим
уравнениям с функцией Гамильтона И', выражаемой формулой (10), причем
функция F(q, Q, t) определяется из уравнения (6).
§ 10.03. Вывод уравнения Гамильтона — Якоби
Предположим, что функция Гамильтона Н' в формуле (10) § 10.02 равна нулю,
так что
И (Я. р. /)+—= 0. (1)
Тогда, согласно уравнениям (11) § 10.02, Ql = Pi — Q. Поэтому Qt и Pt —
постоянные, и мы пишем
Qj= ®(, Рi — ^, (/=1, 2, ..., Л).
$ 10.04. Дальнейшее применение
211
Уравнения (7) § 10.02 тогда примут вид
OF (q, a, t) Q ___ dF (q, a, t) п
Pi — —щ—• Pi — ц—• W
Очевидно, что в этом случае функция F совпадает с функцией S, введенной в
§ 8.09. Заменим в уравнении (1) F на 5 и Q на а. Тогда это уравнение
примет вид
*). + Н(д. р. /) = 0,
и, таким образом, принимая во внимание первую группу уравнений (2), можно
утверждать, что функция 5 представляет собой решение уравнения
<)=0.
которое является уравнением Гамильтоиа — Якоби, полученным в § 8.10.
§ 10.04. Дальнейшее применение
В этом параграфе мы выведем при помощи метода контактных преобразований
результаты, полученные в § 8.15.
Канонические уравнения, из которых мы исходим, имеют вид
дН • дН
*=17’ р:--------------W (1)
Как и раньше, мы положим
Н — Н0 — Я, (2)
и допустим, что канонические уравнения с функцией Гамильтона Н уже
решены. Пусть решение, полученное из равенств
dS (q, a,t) q dS (q, a, t)
p— dq ’ P-Та '
имеет вид
q = q{t, a, p), p = p(t, a, p). (3)
Здесь 5 — решение уравнения
#+«.(?.-f. <) = 0. (4)
Теперь будем считать аир переменными и предположим, что аналитические
выражения (3) для q и р удовлетворяют уравнениям (1). Отождествляя Q, с
«, и Р, с —p/t получаем
к
i«i i i iк 1 1 '
14*
212
Глава 10. Контактные преобразования
Правая часть этого равенства есть полный дифференциал dS по отношению к
величинам q и а. Поэтому, согласно результатам § 10.02, получаем
О -дН' Р- дИ'
4l~ IPT' dQT’
где, на основании уравнения (4),
Я' = Я + —(<?уа’ = Н — Н0,
или, согласно формуле (2),
Н' — — Я,.
Поэтому
О _ дНх ь_дН,
Wl~ дР{ ’ l~ dQi'
Если в последних уравнениях заменить Q на а и Р на —р, то они примут вид
• _дН± а _ ОН,
1 dp, * da, '
Это и есть уравнения, выведенные в § 8.15.
Если Н0 — функция Гамильтона, соответствующая эллиптической орбите, в
силу чего аир будут соответствующими каноническими постоянными, то
уравнения возмущенного движения выведутся так же. как и в § 8.15, и
примут вид
• dR а 0R
а‘ — dp, ’ — da, ’
где а и р теперь принимаются в качестве новых канонических пере-
менных.
§ 10.05. Условия контактного преобразования, записанные через скобки
Лагранжа н скобки Пуассона
Для контактного преобразования переменных q, р в переменные Q, Р мы из
формулы (6) § 10.02 получим
ft ft
2 Pi dqt — 2 P, dQt s dF (q, Q, f). (1)
i=i i=i
где dF — полный дифференциал по отношению к переменным q и Q. Запишем это
преобразование в виде
q=sq(Q.P,t), p==p(Q,P,f).
§ 10.05. Условия контактного преобразования
213
При помощи первой группы этих формул F может быть преобразована в функцию
от Q, Р, t, так что
?гР=Е(ж,го'+ж‘">‘)- ®
i=i
Кроме того,
(3)
к к
В формуле (1) вместо 2 ptdq, напишем ^prdqr. Тогда, учитывая
1=1 г=1
равенства (2) и (3), мы будем иметь
к к к
2
Т= 1 1 = 1 1=1
1 = 1
откуда, приравнивая коэффициенты при dQt и dPt, получаем
да
Г
Определим скобки Лагранжа [а, v] при помощи формулы
да
т= 1
Из равенства (5) находим
д V „ ±Яг_ _ _д_ V _ dqr dPj U Pr dPt ~ dPi pr dPj *
т. e
»(Pu Pj>
С другой стороны, из равенства (4), поскольку Р и Q являются независимыми
функциями, имеем
-4г- V о — V „ дЧг
ИЩZdprH&~ dQi ААрт~Щ7'
г г
откуда
IQi. Q;]~0. (8)
214
Глава 10. Контактные преобразования
Продифференцируем снова формулы (4) и (5) соответственно по Р, и Q, и
вычтем. Тогда получим
д V „ дЧ' 1 — д V п hi.
dPt Za Pr dQi ~ 'Щ' Za Pr dPt '
r r
откуда
lQt, Я,] = 1. (9)
Соотношения (7) — (9) и составляют всю совокупность условий контактных
преобразований.
Возвращаясь к определителю Д. который фигурирует в § 9.08 в соотношении
между скобками Лагранжа и скобками Пуассона, мы увидим, что он приводится
к выражению
д=]Пкг=Ц1^. PiV
Из формулы (7) § 9.08 имеем
Р — — L.' — *
" — A L"~ L„ •
Поэтому вследствие равенства (9) будем иметь
{Q/, Pi) — I* (Ю)
С другой стороны, так как ?„ = 0 (гфя), то алгебраическое дополнение
элемента LTS равно нулю; поэтому
{<?<• <гУ} = {я,.яу}=о.
Формулы (10) и (11) дают условия контактных преобразований, записанные
через скобки Пуассона.
В частности, если под Qt и Pt понимать at и — р, соответственно, то эти
условия, записанные через скобки Лагранжа, примут вид
[а,. р,] = -1 02)
[а„ а;] = [рР р;] = 0. (13)
Эти же условия, выраженные через скобки Пуассона, записываются в виде
{«,. р,} —1 (14)
{«/• «/} = {&. 05)
