Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
можем получить уравнения Лагранжа. В следующем параграфе мы
покажем, что выражения (6) можно легко вывести из известных формул для
скобок Лагранжа.
dl dt dl
да2 ?>Ps 0a3
dl ^ f I
да2 da3 — I*’
dl _ sec 9
da3 na? sin I'
202
Глава 9. Канонические постоянные движения
§ 9.08. Соотношения между обобщенными скобками Лагранжа и скобками
Пуассона
Пусть q и р — сопряженные канонические переменные. Определим обобщенную
скобку Лагранжа [ат, аг] при помощи формулы
,а al = V (JSL .ЁК —
{т' Л Мдат даг даг дат)
1=\
и обобщенную скобку Пуассона [ат, а5} при помощи формулы
771
аг) = 2 (
да.
да.
да,
да., \
иит # \
dqj ' dpj dpj ‘ dqj )'
О)
(2)
где nt, r vi s могут принимать значения 1, 2........2tt.
Для краткости пусть Lm< г и PMtS означают скобку Лагранжа и
2л
скобку Пуассона, а X — сумму 2 ^тЛи* Тогда
(2я
das ' dpi у _dq_i_ dpj ’ да г ЛЛ ~дат
т=\
ш=1
да.
das dqt
dqj 1 dqj да,
2п \
Л у дР1 дат \
Г ЛА дат * Hpj I
т=1 /
2л
2л
dpi das у dqt dam , dqt das У dpt da,
V V M . _??l V 231 .
da, dfy dpj
m = l
dar dpj
V m
Z*dam
m= 1
dqj
Предположим, что q и p — независимые функции от 2« величин а и, обратно,
что а — функция q и р. Тогда
2л
^ _dqt_. =
да.
т= 1
dqj dqj
1, если j = t,
Аналогично
Кроме того,
= 0, если j ф I.
2л
ffls 1
если J=l>
= 0, если j Ф I.
Sdpi дат _ п 55Г да, —и>
Sdg, да„ дат
dpj лА дат dqj
т Ш
так как q и р независимы. Поэтому
= 0, если s Ф г,
1=1
§ 9.08. Соотношения между скобками Лагранжа и Пуассона
203
и мы будем иметь
2л
2 LmrPmr — 1
(3)
m= 1
И
2 LmrPms = 0. если s*r.
(4)
Вспомним, что в этих формулах г и s могут принимать любые целые значения
в промежутке от 1 до 2л. Следовательно, имеется 2л уравнений типа (3) и
2л (2л — 1) уравнений типа (4); при этом на время забудем о существовании
свойства Lmr = — Lrm и т. д. и аналогичного свойства для Ps. Таким
образом, будем иметь всего 4s2 уравнений.
Предположим, что все L (их всего 4л2) известны. Тогда имеется 4л2
уравнений (3) и (4), которых достаточно, чтобы они дали нам возможность
определить 4л2 скобок Р.
Напишем уравнение (3) при г— 1 и 2л — 1 уравнений (4) для случаев, когда
$=1, а г последовательно принимает значения 2, 3. .... 2л; эти уравнения
имеют вид
Аналогичный прием дает возможность нам определить скобки Лагранжа, если
известны скобки Пуассона.
(5)
^1, 2/i^ll + ^2, 2/1^21 + • • • + ^2//, ItPln, 1 — 0* Обозначим через А
следующий определитель:
?ц Ljj ... ?2л, 1
^12 ^22 • • • ^2л, 2
(6)
^1,2л ^2,2л • • • ^2я, 2л
Решение уравнений (5) тогда будет даваться формулами
где L\i, Z.J2, ... — алгебраические дополнения элементов Ln ?12, в
определителе А. Общее решение, очевидно, имеет вид
(7)
204
Глава 9. Канонические постоянные движения
Формула (7) может быть записана в несколько измененном виде, если мы
предположим, что вообще скобки Лагранжа имеют значения,
отличные от нуля. Очевидно, что Lrs = dk/dLrs и, следовательно.
Если каким-либо способом переставить, например, столбцы
в определителе Д, то полученный в результате этого определитель будет
выражаться через определитель А следующим образом:
Дх = —(- Д или At = — Д.
Следовательно, во всех случаях будем иметь
Prs~~h ’ (9>
или
pr*=i;L”’ («О
где теперь L.’TS — алгебраическое дополнение элемента Lrs определителя Аг
Итак, мы можем использовать формулы (7) и в том случае, когда в
определителе А сделана какая-либо перестановка столбцов или строк.
Заметим, что при выводе результатов этого параграфа мы не использовали
никаких свойств q и р, кроме того, что q и р являются независимыми
функциями от 2п величин а и, обратно, что а — независимые функции q и р.
§ 9.09. Вычисление скобок Пуассона
по скобкам Лагранжа для эллиптической орбиты
Мы будем под ат понимать следующие шесть эллиптических элементов:
гй, #2 — ^ ’ °3 — ^ I ®4 = 2, Ц5 •—? (Xq — 6.
Формулы (1) § 5.14 показывают, что скобки Лагранжа, не равные нулю,
запишутся так:
[a, s]=Z.16 = —- jna-, [a, <o]==Z.15 = i/ta(l —cos ср);
[a, 2]==IM = -i reecos<p(l—cos/); \e, <o] = I25 = «a2tg<p;
[e, 2] == L2i = — na? tg <p (1 —• cos /); [/, 2] = = no2 cos cp sin /.
где положено e = sin <p. Кроме того, из определения скобок следует, что
Lri = — Lsr
§ 9.09. Вычисление скобок Пуассона по скобкам Лагранжа
205
Скобка Пуассона Prs тогда будет равна LrJДь где Lrs — алгебраическое
дополнение в измененном определителе, полученном из определителя (6) §
9.08 при я = 3:
д.=
кг к г кг Дз, кг кг
Д-61 кг к\ 0 0 0
0 кг кг 0 0 0
0 0 Д43 0 0 0
0 0 0 Д34 Д24 Д14
0 0 0 0 Д25 Д15
0 0 0 0 0 кь
где столбцы обозначены Lir и т. д., причем г = 1, 2............6
последова-
тельно. Очевидно, определитель At равен произведению элементов главной
диагонали:
Д» == ^61^52^43^34^25^16*
Кроме того, Д52Д43Д34Д25Д16'
Аналогично
алгебраическое дополнение элемента поэтому, согласно равенству (8) §
9.08, имеем
р _ 1 ..... ~ 1 2
*61 — 1
L6l равно
или
па
р _ J ctg?
25 Lm па2 ’
па‘
secy
34 L3t па2 sin i
Алгебраические дополнения элементов Д,1 (s = 5, 4, 3, 2, 1) первой строки
