Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если правую часть формулы (2) выразить через q и р, то она примет вид
Т..1 L* ? -Р2 | ^
2 гг cos2 0 гг Г
Функция Гамильтона // = Г2 — Т0 — U0 выражается формулой
Н(9. P>=4ta + TWТ + 4)-7- <3>
и уравнение Гамильтона — Якоби тогда запишется в виде
+ t[(if)2+ г1 cos2 в (жГ+'Мж)2]- Т = (4)
dS
dt
Но / и X не входят явно в уравнение (3), поэтому, согласно равенству (3)
§ 8.13, положим
5 = — ctj/ —(- а3Х —(- S' (г, 0), (5)
где 5' — функция только от г и 9.
С учетом выражения (5) уравнение Гамильтона — Якоби (4) примет вид
2V4-2 гг —?!(^), = (т),+ 4 =“!». <6)
где переменные г и 9 разделены, что позволяет записать S' в виде
S'(г. 6) = ^(0 + 52 (0). (7)
13 У. Смарт
194
Глава 9. Канонические постоянные движения
Очевидно, левая и правая части уравнения (6) равны некоторой постоянной,
которую мы обозначим через а2. Тогда
г2 [чг)2 ~ 2а‘г2 - 2:аг+а2 = 0 (8)
и
(тг)1+4m
Мы теперь имеем
5 = — ctjf-J-а3Х-)-Sj (/*) —J— <S2 (0), (10)
где, согласно формуле (8),
Г
Sx = f f2a^ + 2,y-al-f. (11)
п
причем величина г, будет выбрана ниже. Из уравнения (9) имеем
е
S2 = J /а2 — фес2 0 (19. (12)
о
В качестве г, примем меньший из двух корней гх и г., уравнения у==2а,л2 +
2рг —а2==0. (13)
Мы будем предполагать, что г, и г2— действительные и положительные
величины. Очевидно, что
р. а?
r, + r2=---—, г,г2= (14)
так что, исключая г2, найдем, что Г]=:г, (ар а^). Таким образом» 5, (г)
не вводит новой постоянной в решение (10). Аналогичное замечание
относится и к 52(6). Выбор нижних пределов в каждом из интегралов (11) и
(12) зависит от нас, так как, согласно теореме § 8.12, нам нужно найти
какую-нибудь функцию 5, удовлетворяющую уравнению (4) и содержащую
три независимые произволь-
ные постоянные. Эти последние суть а,, и а3.
Функция у, определяемая формулой (13), должна быть положительной, так как
под знаком интеграла (11) содержится у'/». Но гх и г2 положительны.
Следовательно, на основании формул (14) а, отрицательна. Тогда мы можем
написать
у'/! = (- га,)7* /(г-г,)(г2 —г). (15)
и очевидно, что у будет не отрицательным для всех г, лежащих в пределах
гх ^ г ^ г2.
§ 9.03. Интеграл dS/да, = pi
195
Это ограничение, которому подчиняется величина радиус-вектора г, дает
возможность предположить, что орбита является эллиптической, причем г, и
г2 соответствуют перигелию и афелию. Фактическое доказательство того, что
орбита является эллиптической, будет дано позже.
§ 9.02. Формальное решение
Координаты г, К 6 планеты для любого момента t определяются из равенств
—R dS „ dS g
да, ~ Pi’ да3 ~ РЗ’ да- — Рз*
г
Мы рассмотрим эти равенства в указанном порядке. Так как S2 не содержит
at, то из формулы (10) § 9.01 имеем
as, (г)
' да,
Поскольку Sl не содержит а3, то
(1)
Х + ^Г- = Рз (2)
и, наконец,
as, (г) , asa (0)
act, 1 да3
? ?2* (3)
§ 9.03. Интеграл д5/д«, = 0,
Из равенства (1) предыдущего параграфа имеем
где 5, выражается формулой (11) § 9.01. Помня, что нижний предел rt
интеграла есть функция от а,, находим
'+Ь_/-7Г—sr[ jVte^+Slu—«ГЦ.
Последний член в правой части равен нулю, так как г, — корень уравнения у
= 0. Используя теперь формулу (15) § 9.01, получаем
* + P, = F^r/V(r-r,)(F7=r) ' (1)
'I
Так как наша цель пока состоит просто в том, чтобы выразить канонические
постоянные через эллиптические элементы, то из
13*
196
Глава 9. Канонические постоянные движения
формулы (1) находим, что / + ?, = 0, когда г = г,. Следовательно, Р, = —
т, где т — момент прохождения через перигелий.
Выразим Г] и г2 через новые постоянные а и е формулами
г, = а (1 — е), г2 = а (1 + е),
в которых а и е — соответственно большая полуось и эксцентриситет. Из
равенств (14) § 9.01 мы тогда будем иметь
*1 = —«2= We(l—е2)- (2)
Перейдем теперь к вычислению интеграла правой части формулы (1). При этом
будем руководствоваться известными формулами эллиптического движения.
Пусть г определяется через новую переменную Е по формуле
г — а (1 — ecosE),
так что ? = 0. когда r = rv Тогда
г — rl = ae( 1 — cos ?), г2 — г = ае (1 -(- cos Е), dr = ае sin EdE
и формула (1) примет вид
Е
Y— 2а,(/+р1) = а J (1 —«cosE)dE о
или
Е — esinE=^-Y—2а, • (/+ ?,)==«(/ — т),
что, очевидно, является уравнением Кеплера. Поэтому
п = — Y—2а., а ' 1
так что из равенств (2) получим
р, = п2а3.
Таким образом, в этом параграфе получены следующие формулы, выражающие
связь между каноническими постоянными и эллиптическими элементами:
^ —— tss-J.. а, = —|j, ^ = ^«(1-4 (3)
§ 9.04. Интеграл dS/даз = Рз
197
§ 9.04. Интеграл dS/d*3 = P3
Из равенств (12) § 9.01 и (2) § 9.02 мы имеем
е
в
в
(1)
Отсюда видно, что |ос2| > |а3|. Определим ср формулой
2 2 2 2 аг — <X3 = ot3tg ср
(2)
и предположим, что <р есть положительный острый угол. Тогда после
интегрирования равенство (1) примет вид
В прямоугольных координатах, определяемых формулами (1) § 9.01, это
уравнение запишется следующим образом:
у cos рз — х sin Рз — г ctg ср,
откуда видно, что планета движется в плоскости, проходящей через Солнце.
