Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
в теории Луны и теории планет. В частности, мы будем предполагать, что
эксцентриситеты и наклонности малы и имеют один и тот же порядок малости.
Конечно, способ, с помощью которого R разлагается в ряд, зависит от
выбора переменных, к которым преобразуются уравнения движения. Во многих
теориях время t обычно берется в качестве независимой переменной. С
другой стороны, в теории Луны (и не только в ней) за независимую
переменную принимается истинная долгота Луны v. Так как время обычно
вводится в возмущающую функцию явно посредством средней аномалии
возмущающего тела, то в принципе t может быть выражено (методом
последовательных приближений) через v в виде ряда.
В последующем мы ограничимся рассмотрением только такого разложения R,
когда в качестве независимой переменной принимается время. Мы сначала
рассмотрим разложение R в теории Луны, так как здесь имеются
обстоятельства, упрощающие это разложение и отсутствующие в случае теории
планет. Одна из причин, облегчающих разложение, состоит в особом условии,
связанном с движением Солнца относительно центра масс Земли и Луны. Этот
вопрос будет специально рассмотрен в § 7.03.
(М Е \ т+т)
в теории Луны
Уравнения движения Луны и Солнца (15) и (16) § 4.09 имеют вид •• . (ix GS
(Е М) dF х~*~ г» — ЕМ дх ’
- _ G(?+Af+S) dF 1— Е + М dXi' W
причем уравнения для у, г и у1( zl аналогичны этим. Здесь х, у, z —
координаты Луны относительно осей с началом в Е (рис. 16), a xv ур zl —
координаты Солнца по отношению к системе координат с началом в точке С,
являющейся центром масс Е и М, и осями,
9 У. Смарт
130
Глава 7. Разложение возмущающей функции
параллельными осям Ех, Еу, Ег. Кроме того, F на основании формулы (14) §
4.09 выражается так:
„ М , Е
F~ х+дг* (3)
В этих равенствах Е, М и 5 — массы Земли, Луны и Солнца соответственно.
На рис. 16 обозначим ЕС через р, AfC — через р, и угол AfCS — через а. По
определению, мы имеем
М г Ег ...
Р— Е+М’ ?1~Е+М’ ^
Затем
Д2 = г2 — 2pjTj cos а + р2
или
г, г. 2о, . / а. \2i-V»
Д
Далее, р ,/г, является малой величиной, так как отношения г/Д, г/Д, и
г/г, имеют порядок 1/400. Поэтому
/=i
где Я, (а)— полипом Лежандра /-го порядка. Если через с обозначить cos а,
то мы сможем написать хорошо известные формулы:
Рг — С, Р2 = 1с2-1,
Я_1сз_Зс р = 35 4__15 2 3 <6>
— 2 2 ’ 4 — 8 4^8
Кроме того,
Д? == г?+2prj cos а+р2,
§ 7.03. Орбита Солнца
131
откуда
•?=и-2(-1 /(??)'/>,<«>• от
<«i
Вследствие равенств (5) и (7) формула (3) принимает вид
= (%, - ?р) + -5г (ЖР? + ^Р2)+
Г1 П
+ A(Afp3_?p3)+^.(Mp} + ^)+ ...
П ri
или, согласно формулам (4),
D Е + М ME Г г’ п I В-М г» „
^“"^ + '^Г?[7Г2+7+?7Г3+
+ g-?Ai+AP^ I
^ (f+iM)2 rf J
§ 7.03. Орбита Солнца
Из уравнений (2) и (8) § 7.02 мы имеем
i, = 0(?+Af + i)^-[J- + -^iPi+ ...].
Отношение второго члена в скобках к первому имеет порядок
ME / г \2 (?+Л1)* V г, ) '
Но М/Е « 1/81 и г/г,« 1/400. Следовательно, это отношение приблизительно
равно 8 • 10~8. Таким образом, второй член не оказывает значительного
влияния, что справедливо также для последующих членов. Поэтому запишем
уравнения движения Солнца в виде
i, + O(E+/H + S)^- = 0
плюс два аналогичных уравнения для у, и zv Движение Солнца относительно
С, таким образом, является эллиптическим. Если л, и а, суть среднее
движение и болын-v.; ц луось этой эллиптической орбиты, то
Q(E+ М + S) = (1)
Нормаль к плоскости орбиты Солнца имеет фиксированное направление, и мы
выберем ось z так, чтобы она проходила через Е параллельно этой нормали.
Тогда основной плоскостью лгу будет
9*
132
Глава 7. Разложение возмущающей функции
плоскость эклиптики. Проведем на рис. 16 отрезок прямой ЕГ (= rj
параллельно CS. Тогда Т будет двигаться в плоскости эклиптики. Координаты
Т относительно Е те же самые, что и координаты Солнца относительно С.
Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в F,
по формулам эллиптического движения через av е, и т. д., где в,, в, и т.
д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией
планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в
возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение
уравнений невозмущенного движения, но в], ех и т. д. являются уже не
постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям
Лагранжа. Это будет сказываться па членах второго порядка в возмущениях
рассматриваемой планеты.
§ 7.04. Возмущающая функция в теории движения Луны
Согласно соотношению (1) § 7.02, возмущающая функция R выражается
формулой
*=0^-^ ())
Так как г, не зависит от координат Луны, то первый член в правой части
формулы (8) § 7.02, определяющей F, может быть отброшен. Кроме того,
поскольку E/S » 3 • 10-6, формула (1) § 7.03 может
быть с достаточной степенью точности записана в виде
05 = nffi. (2)
Пусть п означает среднее угловое движение Луны и пусть
т = ^. (3)
Это отношение, приближенно равное У13, будет рассматриваться
