Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 37

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 140 >> Следующая

Коэффициенты J вообще представляют собой, ряды по степеням е, ev 7 и 7,.
Если эти ряды абсолютно сходятся, то значение а лежит между a0-f-8o и а0
— 8а, где 8a = /n12 И,
§ 6.10. Рассмотрение возмущений второго порядка в О. и а
127
Границы, внутри которых должно лежать а, таким образом вполне определены,
что справедливо также и для каждой другой планеты. С этой степенью
приближения (поскольку это касается больших полуосей) планетная система
должна была бы быть устойчивой в том смысле, что она продолжала бы
существовать с этими особенностями, не изменяясь.
Если же мы будем исходить из второго приближения, представленного
формулой (2), то предыдущее утверждение уже не будет справедливым, так
как при каком-либо заданном значении t величина а лежит в пределах,
которые мы можем записать в виде
Uq -j— -j-1a0 — —— t ьи2.
Поэтому область изменения а, очевидно, не будет ограниченной для всех
значений t, как это было в первом приближении, и устойчивость в прежнем
смысле будет отсутствовать.
Рассмотрим теперь возмущения е. Возмущения второго порядка е имеют вид
(1). Предположим, что формула (1) является точной. Тогда наличие членов
A^-\-B2t2 укажет на то. что е может неограниченно увеличиваться, если для
простоты считать, что А{ и В2 положительны, или неограниченно убывать,
если Аг и В2 отрицательны. Если Л] и В2 имеют противоположные знаки, то
те же самые выводы будут справедливы, когда t превзойдет \Al\j\B2\. При
этом орбита, очевидно, стала бы сначала параболической, затем
гиперболической и планета покинула бы солнечную систему.
На первый взгляд кажется, что устойчивость солнечной системы не является
гарантированной. Однако такое заключение было бы поспешным— мы забыли бы
о предположении, сделанном относи-: етьно ряда Тейлора для возмущающей
функции, а именно что Д'р, Д'р,, Д'а являются столь малыми величинами,
что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно
пренебречь. Но вследствие появления вековых членов в Д'?2, Д'е, .... Д'-j
это ограничение только обязывает сделать вывод, что значение t, для
которого эти результаты справедливы, является ограниченным, например,
одним или двумя столетиями. Таким образом, на основе анализа, изложенного
выше, можно получить возмущения второго порядка с определенной степенью
точности для ограниченных интервалов времени и возмущения третьего
порядка с еще большей точностью. Но этот анализ не будет проливать свет
на проблему устойчивости (или неустойчивости) планетной системы. Другими
словами, невозможность сделать выводы, связанные с проблемой
устойчивости, является прямым следствием применения метода
последовательных приближений.
В гл. 13 мы увидим, что есть серьезные основания считать, что изменения е
и других элементов носят периодический характер с периодами в несколько
тысяч лет. На протяжении короткого промежутка времени, скажем столетия,
истинная кривая изменения, напри-
128
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
мер е, является почти прямой линией. Поэтому такие изменения
интерпретируются как вековые. Обратно, вековой член вида X/ в формуле (1)
можно мыслить как приближение к sin X/, когда X/ мало. И это справедливо
для любого элемента. Следовательно, так называемые вековые члены
оказываются включенными в общие тригонометрические ряды. Кроме того,
исследование показывает, что в этом случае не появились бы и смешанные
члены во втором приближении для всех элементов. Но нужно подчеркнуть, что
эти аргументы сами по себе не дают доказательства устойчивости планетной
системы.
Пуанкаре') разработал следующие условия устойчивости:
1) гелиоцентрическое расстояние каждой планеты не может неограниченно
возрастать или убывать;
2) тесные сближения в каждой паре планет исключены;
3) в некоторые моменты времени tv t2, ... система может повторно
проходить через конфигурацию, которую она имела в момент t0.
Условие (2) требует некоторого пояснения. Если бы две планеты прошли
очень близко друг к другу, то взаимные возмущения тогда стали бы гораздо
ббльшими, чем те, которыми мы занимаемся в этой главе. Тогда во время
близкого прохождения могло бы оказаться, что эксцентриситет орбиты одной
из планет изменился бы от нормального значения до величины, превышающей
единицу, и в этом случае рассматриваемая планета могла бы быть выброшена
в межзвездное пространство. Такие близкие прохождения действительно
случались. Например, комета Морхауза тесно сблизилась с Юпитером, в
результате чего ее эллиптическая орбита была превращена в
гиперболическую.
Сделаем одно заключительное замечание. В определении устойчивости не
принято во внимание влияние сил трения на движение тел солнечной системы.
Одним из примеров таких сил является приливное трение в земных морях.
') Les Mithodes Nouvelles de la Atecanique Celeste, HI, 1899, p. 141.
Глава 7
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
§ 7.01. Введение
В этой главе мы подробно изложим методы разложения возмущающей функции R
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed