Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
возмущения, рассмотренные в системе Юпитер — Сатурн. По этой причине
уравнения Лагранжа не годятся для детального исследования движения
Троянцев и, следовательно, должны быть использованы более сильные методы.
§ 6.07. Второе приближение для S2
Уравнение для 2 в принятых выше обозначениях имеет вид
— Ия|1 S "ЭГ cos9o+/1,”iS^ cos0,
где
О = /(р-)-е)-)-/i(р,-)-е,)-)- ... -I-Ajajp (2)
Запишем уравнение (1) в виде
2 = mxF (р -)- s. р, -f-e,; а, я,; ...; ю, ш,), (3)
где через F обозначена функция, выражаемая формулой
/7==/1Swcos0o+/1S‘^cos9- (4)
Пусть
Р = Ро + Ь'р + Д"р, е == е0 + Д'г + Д"е
и т. д., где Д'р и т. д. — малые величины порядка /я, а Д"р и т. д.—
малые величины порядка /я2. Для простоты предположим, что /и и /я, имеют
один и тот же порядок.
Разложим теперь F в ряд Тейлора. Тогда, если a — любой из шести элементов
орбиты планеты Р или из шести элементов орбиты планеты Рх, то для второго
приближения мы будем иметь
А- (20 + Д'2 + Д"2) = mxF0 (р, Pl ?,) +
+ *i [д,р (тг)0 + д,р> (1^1 + 2 Д'а (?)„] * &
124
Глава б. О решении уравнений Лагранжа
где „нуль" в выражениях F0, (dF/dp)0 (dF/da)0 означает, что
F, dF/dp, .... вычислены при р0 а0. Здесь мы предположили,
что Д'р, Д'р, и Д'а являются столь малыми величинами, что их квадратами и
более высокими степенями можно пренебречь.
Уравнение для членов второго порядка таково:
При нашем предположении относительно от и от, правая часть будет малой
величиной порядка от2.
§ 6.08. Общий вид возмущений второго порядка в Q
Установим прежде всего вид различных членов, которые появляются в правой
части уравнения (6) § 6.07.
В соответствии с формулой (4) § 6.07 F имеет следующий вид:
^ = *+2 У cos 9, (1)
где Х = Х(а, е ш, I), У==У(а, е, I), 0=0(р, Q, ш, г), причем
в эти функциональные зависимости включается р, и соответствующие элементы
планеты Pv
Согласно формулам (15) и (16) § 6.03, элементы разделяются на две
категории. Для определенности будем считать, что е характеризует первую
группу, а ш — вторую. Ниже мы будем интересоваться только видом различных
функций.
1) Ые = X/ от, 2 J cos О
(?!=0+2Hc°s9-Поэтому, так как X — величина порядка от, то
от, Ые ^-^^ = OTi^i4H-B/H-n. 4. + /4^Dcos6j. (2)
2) Д'ш =)./ -f- от, 2 К s*n 0
(f)„-0-+S
Поэтому
от, = Wi(-4' п. ч. + / ^ D' sinO). (3)
§ 6.09. Возмущение второго порядка в а
125
3) На основании формул (5) § 6.04 или (7) § 6.05 имеем
Поэтому
Д'р = т, 2 ^sin °* (-^)o==2*/sin0'
miA,p(^r)oS=m'(y4" + n- Ч,)-
(4)
Постоянные А, А' и А" появляются в результате перемножения членов,
имеющих один и тот же аргумент.
Формулы (2) — (4) устанавливают общий вид правой части уравнения (6) §
6.07. Интегрируя это уравнение, находим
Д"2 = Ayt + 4- п. ч. -|-1 2 Фч sin 0 4— ^2cos fj)’ (5)
где индекс 2 означает, что коэффициенты имеют второй порядок малости.
Первый член правой части формулы (5) является частью векового члена и
имеет второй порядок малости. Второй член, с t2, называется вековым
ускорением. В случае планет этот член является чрезвычайно малым и из
наблюдений он не получается. Долгота Луны, однако, имеет член такого
вида, коэффициент которого уже не является пренебрежимо малой величиной и
обнаруживается при наблюдениях, проведенных в течение значительного
промежутка времени (мы встретимся с этим членом в гл. 19). Последние
слагаемые в формуле (5), содержащие множитель t. представляют собой
тригонометрический ряд, амплитуды членов которого увеличиваются со
временем. Такие члены называются смешанными.
Уравнения для ш, е, е и I, как легко видеть, будут давать члены второго
порядка в таком же виде, что и формула (5).
§ 6.09. Возмущение второго порядка в а
Из формулы (1) § 6.03 имеем
Мы поступим так же, как и в предыдущем параграфе. Прежде всего имеем
a = —^'2ilCs\nf) = m1F'(p + t а),
где F' имеет следующий вид:
F' = 2 Msin 0.
Члены второго порядка в а определяются из уравнения
126
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Поэтому
я,>А'е(тг)о = “*(П- ч. + / \^/>8‘п0).
Аналогично из равенства следует, что
"?+<2;,'cose]-
Кроме того, поскольку
’ m.-s*—•
то
*lA/p (^)o = m'[n- Ч-Ь Интегрирование уравнения (1) дает
Д"а = rrtj [п. ч.] -f-12 (S2sin 9 -f- T2 cos в). (2)
§ 6.10. Рассмотрение возмущений второго порядка в Q н а
Из предыдущих параграфов следует, что полные выражения для Q и а с
точностью до членов порядка /я2 включительно имеют вид
?2 = Sq —(- A\t —(- B2t2 -f- п. ч. —(- t 2 (D2 sin 9 —(- E2 cos 9), (1)
a = a0-j-п. ч. +/ 2(*^2sin ® +^2cos ®)* (2)
Присоединим сюда также следующее равенство:
a = cos Q. (3)
Возмущения в долготе узла, определяемые формулой (1), влияют только на
положение оскулирующего эллипса относительно основной плоскости в каждый
момент времени t. Эти возмущения сами по себе не изменяют
гелиоцентрических расстояний планет, а влияют на них лишь через
посредство своих членов первого порядка, входящих в формулу (2).
Аналогичные замечания можно сделать о возмущениях в ш и е.
Рассмотрим теперь формулу (3), которая дает возмущения первого порядка а.
