Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
составляет около 890 лет.
Если D, есть то значение D, которое соответствует этому члену, то
амплитуда такого неравенства равна mxDxT'l2n.
Такой член, возникающий из-за близости к соизмеримости я и я,, называется
долгопериодическим неравенством.
Из рассмотрения свойств возмущающей функции в следующей главе будет
найдено, что D (когда / = 2, /,= 1) и Dx (когда
$ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
121
/ = — 2 и /, =г= 5) имеют один и тот же порядок ер. Если для простоты мы
предположим, что D и D, равны, то амплитуда долго-периодического
неравенства будет в 7V'/7V раз больше амплитуды соответствующего
короткопериодического неравенства. Здесь Т'/Т« яг 890/4,94 « 180. Таким
образом, очевидно, что долгопериодическим I еравенствам соответствуют
очень большие возмущения.
Различие в величинах периодических возмущений этих двух классов
становится еще более заметным, когда мы рассматриваем возмущения в
средней долготе /. Так как Z = р —(— е, то возмущения первого порядка Д'1
выражаются суммой Д'р —f- Д'е. Теперь, как это следует из п. 2, типичный
периодический член в Д'е будет иметь вид
sin [(/я+ /,«,)/ + ?] (6)
и ему соответствуют короткопериодическое или долгопериодическое
неравенства, которые уже были исследованы.
Рассмотрим теперь Д'р. Из формул (11) и (12) § 6.04 находим
Д,р==‘-ё/А'й dL
Но
Д'а = «j т^т^- cos \(1п + /,я,) t + q\. и поэтому типичный член в Д'р
будет иметь вид
(/n + W + + (7)
Обратимся еще раз к случаю Юпитера и Сатурна. Пусть V — период
короткопериодического члена, для которого 1 — 2, tx=\, и пусть Т" —
период долгопериодического члена, для которого 1 = — 2, 1Х = 5. Как и
раньше, предположим, что М имеет порядок ер для каждого из этих членов.
Предположим далее для простоты, что эти значения М одинаковы. Тогда,
согласно формуле (7), амплитуда долгопериодического неравенства будет в
(7v//7,/)2 раз больше амплитуды соответствующего короткопериодического
неравенства. Из найденных выше численных результатов получаем, что это
отношение равно (180)2: 1. Очевидно, что влияние долгопериодических
неравенств является наиболее значительным.
Найдено, что средняя долгота Сатурна под действием возмущений от Юпитера
может изменяться в пределах до 50' под влиянием долго-периодических
неравенств типа, рассмотренного нами.
122
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
§ 6.06. Троянцы
Другой, еще более интересный пример преобладающего влияния
долгопериодических возмущений имеет место в троянской группе малых
планет, из которых известны пятнадцать (1952 г.). Первая из этих планет,
Ахиллес, была открыта в 1906 г. Свои названия они получили в честь героев
греко-троянской войны, описанной Гомером в «Илиаде». Троянцы — малые
планеты, движущиеся почти на том же расстоянии от Солнца, что и Юпитер,
так что их средние движения
мало отличаются от среднего движения Юпитера. Несколько троянцев идут
впереди Юпитера приблизительно на 60° по долготе, в то время как
остальные примерно на 60’ по долготе находятся позади Юпитера.
Орбитальные плоскости большинства Троянцев составляют с плоскостью орбиты
Юпитера углы всего лишь в нсск >лько градусов, хотя для пяти планет этот
угол достигает 20‘.
Если на рис. 15 А и В— точки, лежащие на орбите Юпитера, такие, что углы
ASJ п BSJ равны 60\ то А и В называются треугольными точками либрации, С
грубой степенью приближения, пренебрегая упомянутой выше наклонностью,
траектория Троянца относительно Юпитера, так называемый либрационный
эллипс, указана пунктирной кривой около А или В. Отношение осей этого
эллипса одно и то же для всех Троянцев. Возможно, что названия этим
планетам были даны неудачно, ибо друзей и врагов поместили в тесной
близости друг к другу около каждой точки либрации. В интересах небесного
мира и гармонии было бы более целесообразно поместить греков вблизи одной
точки либрации, а героев Трои вблизи другой. Однако с полным
пренебрежением к национальным предубеждениям вся группа малых планет,
которыми мы теперь интересуемся, называется троянской группой.
Более чем за полтора столетия до открытия первого Троянца Лагранж
рассмотрел задачу движения трех материальных точек, когда они находятся в
положении относительного равновесия, образуя равно-
§ 6.07. Второе приближение для Я
123
сторонний треугольник. Открытие Троянцев превратило эту задачу из
первоначально чисто теоретической и академической в задачу,
представляющую большой практический интерес.
Возмущения Троянцев Юпитером весьма значительны и могут доходить в
долготе до 20°. Если, например, мы рассмотрим планету Нестор, то для
этого Троянца я = 301",00. в то время как я, (для Юпитера) равно 299",
13; поэтому член в возмущающей функции
с аргументом /(я — nx)t-\-q, где / = 1, 2..... очевидно, вызывает
долгопериодическне неравенства, ибо я — я1 = 1",87, так что Т", когда / =
1, приблизительно равен 1900 годам. Так как соответствующая величина D в
формуле (4) имеет порядок еп, то эти возмущения значительно больше, чем
