Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Интегрирование первых двух членов правой части этого уравнения даст члены
вида Х/-)-п. ч., которые можно объединить с ранее полученными членами,
содержащими Р и Q в правой части уравнения (5).
Новую особенность, на которую нужно обратить внимание, составляет вид
последнего члена в правой части уравнения (6), содержащего периодический
ряд с амплитудами, увеличивающимися со временем. Это нежелательное
осложнение может быть преодолено следующим образом. Если мы обозначим
через (dR/да) производную от R по а, входящему только в коэффициенты с и
С, то
dR / , dR dl dn
da \ da ) dl dn da
или, согласно формулам (12) и (14) § 6.02,
da [da da dt >
Далее, на основании уравнения (1) § 6.01
dn dn da _2_ dn_ dR
dt da dt na da di ' ' *
поэтому, опуская члены с Р и Q и используя равенства (7) и
(8),
уравнение (5) можно записать в виде
2 I dR\ , dn
$ 6.U3. Важная модификация уравнений движения n.wnet Но
или
• . . йп 2 ( dR \
6 ' dt па \ да )'
Пусть е' определяется формулой
?/=е4-1^
Тогда
V 2 (dR\ 2т, VI с 2/п, VI дС а /1Л.
Е = з— =----------- з- COS 0Л >. 3- COS 0. (10)
па \да } па АА да n па md да к ’
Интегрируя уравнение (10), мы в первом приближении найдем для s'
следующее выражение:
е' = s0 —|— X/ —|— и. ч. (11)
Согласно формуле (9).
так что
l = nt-\-e = J я <// + $'. (12)
Как легко заметить, е входит в R только вместе с I. Следова* тельно, если
вместо nt-\-e подставить в R выражение / *«+*' то мы будем иметь
dlR _dR dt' ~ dt ’
так что
•_ 2 dR а па дг' "
Все другие уравнения при этом преобразовании остаются неизменными.
Принимая е' в качестве нового элемента вместо е, мы видим, что, согласно
формулам (5) и (10), уравнение для е' имеет вид
г'—m{?)+pi*+Q?' <13)
гак что в первом приближении е' будет выражаться формулой (11).
Таким образом, если р означает любой элемент (включая г'), то решение
уравнений движения планет в первом приближении дается в виде
Р = Ро+М+п- Ч. (14)
с важной оговоркой, что для элемента а соответствующее
значе-
ние X в формуле (14) равно нулю.
8*
116
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Поступая аналогичным образом с уравнениями движения планеты Я,,
возмущаемой планетой Р, мы получаем в первом приближении для какого*либо
элемента рх следующее выражение:
Pi = (P\)o + V + n- ч.
с той же оговоркой, что соответствующее значение X, для элемента равно
нулю.
Следует заметить, что периодические члены в элементах а, е, I зависят
только от косинусов 0, в то время как в 2, ш и е'— только от синусов 0
[это видно из уравнений (7) — (12) § 5.10 и формулы (9) § 6.02 для /?].
Таким образом, мы можем написать
а «0
е = «о + Х/ + /и, 2 Jeos О. (15)
1 'о
о 20
ш = <о0-|-Х/-|- т1 2 /С sin 0, (16)
е' ео
причем в первой формуле (15) Х = 0.
§ 6.04. Общий метод вычисления приближений высших порядков
Введем функцию р посредством формулы
р = J ndt. (1)
Тогда, согласно равенству (12) § 6.03, получим
/==п/ + е = р-|-е'. (2)
Соответственно этому в разложении для R мы заменим / на р + е' или,
опуская ради простоты штрих, — на p-j-e. Мы должны, конечно, помнить о
значении е, которое теперь ему приписывается. При этих обозначениях 0
будет определяться формулой
® = / (Р Ч~ е) + h (Pi ®i) У2 Л21 —Ai<i>p (3)
где индексом 1 обозначены величины, связанные с планетой Pv
Помня, что п есть функция а, мы видим, что р, определяемое по формуле
(1), в точности совпадает с
p = p'/i J a~4>dt, (4)
§ 6.04. Метод вычисления приближений высших Порядков
117
откуда
3 Й/? ТГЧ
а* дt '
Интеграл J ndt, т. е. р, называется средним движением по возмущенной
орбите.
Как мы видели, формальное решение уравнений движения планет в первом
приближении, например для а, дается формулой
. 2га, V’ 1C cos0 ....
a==ao+-nr2iTrfT^' <6>
в правой части которой все элементы рассматриваются как постоянные,
равные а0, е0 и т. д. Чтобы упростить обозначения, мы опускаем индекс
нуль при каждом из элементов в правой части формулы (6).
за исключением, конечно, первого члена. Совокупность всех
членов,
стоящих под знаком суммы в формуле (6), составляет возмущения в элементе
а, и их порядок таков же, как и порядок малой величины тл. Решение
соответствующего уравнения для возмущений в а1 будет иметь ту же форму,
что и (6), причем малой величиной в этом случае будет т.
Для простоты мы будем считать, что порядок величины т совпадает с
порядком величины mv Запишем равенство (6) в виде
а = л0 + д'в* (7)
где Д'а представляет собой возмущения первого порядка относительно т.
Аналогичные равенства будут иметь место и для других элементов планеты Р
и для всех элементов планеты Ру Когда все эти выражения будут подставлены
в функцию R, которая сама содержит множитель т, то мы получим ряды,
содержащие множители т и т2. Решение уравнений движения планет будет
тогда включать члены второго порядка, и мы запишем
а = а0-(- Д'а Д "а,
где через Д"а обозначены члены второго порядка относительно т. Вообще мы
можем написать
и = во-)- Ч- Д№д —f- Д"'а ..., (8)
