Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
cosЕ = — —J e2jcos/W-t--i ecos 2/И + -|-e2cos 3/И, (2)
sin? = ^l —e2jsin М *sin2M e2sln3M. (3)
§ 6.02. Общий вид разложения возмущающей функции
111
Далее при помощи формулы (3) § 5.05 /, можно представить в в ие
/, = cos (2 —f- u>) —J- 2 sin2 sin 2 sin u>, или, с точностью до членов
порядка f2,
/, = cos u> ?2 [cos (22 — to) — cosu»]. (4)
Аналогично
l2 = — sin to + 72 [sin (22 — ш) —sin u>], (5)
Легко показать, что посредством равенств (2) — (5) формула (1)
для х принимает вид
3 VI ~
х — — -j йе cos ш -f- V A cps (Ш у'2 -f- kw), (6)
где I, J и k — положительные или отрицательные числа,
включая
нуль для У, а А — функция а, е и j.
Точно таким же образом формула для координаты х, возмущающей
планеты Р, может быть записана в виде
*i = — cos ю, Н-У] Ах cos(/,M, +7,2, -(- (7)
где lv У, и —положительные или отрицательные числа, включая
нуль для Ур а Л, зависит от ах, е, и ip
Рассмотрим теперь множитель хА/г\, содержащийся при х во
втором члене формулы (5) § 6.01 для R. Уравнение невозмущенного
движения для координаты хх планеты Р, имеет вид
X, л ч X,
П ч
Далее, так как Л1, = л,/ —Хр то
dM\
откуда
= «1
1 d*X\
л, dMf
Используя формулу (7), мы можем получить
Т- — "Т cos
r\ ax
112
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
где /, Ф 0. Из последнего уравнения и из равенства (6) видно, что ххх/г®
принимает вид
2Ccos(/Af + /,/W1+y2+ /|2| —(— k<a —|— (8)
где С зависит от а, ах, е. ех, f и /, но не зависит от /i и может
принимать нулевое значение. УУх/г\ и ггхfr^ также представляются рядами
такого же вида, что и (8).
Разложение 1/А выполняется гораздо более сложным образом, и поэтому мы не
будем здесь пытаться давать даже поверхностное его описание. Мы просто
примем, что 1/А может быть разложено в ряд вида (8) с оговоркой, что / и
/, могут принимать нулевые значения раздельно или одновременно. Таким
образом, полное разложение R может быть записано в виде
/?= «j 2cc°s 0О + /И1 2I^C0S^ (9)
причем 0О и О даются формулами
0o = y2 + y12i—(-Аш—(— Ajuij, (10)
гд' ], .... kx могут принимать нулевые значения порознь или вместе, и
0 в + + 72+ 7,2,+ *«> + *,?,. (П)
где / и в частности, могут быть равны нулю. В формуле (9) с и С — функции
а, ах, е, ех, f и f,; при этом предполагается, что постоянная тяготения
включена в с и С.
Проблема сходимости рядов типа (9) (когда рассматриваются все степени
эксцентриситета и наклонности) сложна, и мы не будем пытаться здесь ее
рассматривать, а примем, что общие ряды вида (9) (и другие ряды,
полученные аналогичными методами) представляют возмущающую функцию для
практических целей.
Заметим, что элемент е входит в выражение (11) для 0 только вместе с nt,
так как Л1 = л^ + е—ш.
Вместо М удобнее иметь дело со средней долготой I, которая выражается
формулой
l = nt-\-e. (12)
Тогда 0 будет иметь вид
в = 11 + 1х1х+JQ-\-jxQx-\-ku+kxwv (13)
Из формул (12) и (13) мы замечаем, что
§ 6.03. Важная модификация уравнений движения планет 113
§ 6.03. Важная модификация уравнений движения планет
Рассмотрим первое уравнение движения
• 2 dR 2 dR
а па dt па dl
Из формул (9) и (13) § 6.02 имеем
* = -•XrS'Cs,n6- О
Так как каждый член правой части этого уравнения содержит множитель mv
который является малым по сравнению с массой Солнца, то для получения а в
первом приближении мы можем считать, что элементы а, а,, .... «в в
правой части уравнения (1) постоянны
и что
0 = (*«-Wi«i) (2) где g — постоянная. Тогда, интегрируя, мы получаем
а = а0-— cos 9. (3)
01 па JU tn-j-lint v ’
Формула (3) показывает, что а колеблется около среднего значения а0, и мы
кратко запишем
л = flo~bn- ч->
где п. ч. означает ряд с периодическими членами.
Рассмотрим теперь уравнение (3) § 6.01, именно
Так как I (= arctg f) входит в коэффициенты с и С формулы (9) § 6.02, то
& = АЩ 2 cos °о+ Ат'1] Ж cos
В первом приближении мы получим
2 = Q„4- Amxt 2 cos 90+ Am, J sin 9.
где 0 дается формулой (2). Обозначим через X постоянный коэффициент при
t. Тогда
2 = 2д—|—Х^ —|—п. ч. (4)
Из соответствующих уравнений легко видеть, что е, I и «в в нервом
приближении выражаются формулами, аналогичными (4).
8 У. Смарт
114
Глава б. О решении уравнений Лагранжа
Картина меняется, когда мы переходим к оставшемуся уравнению движения
планеты, т. е. к уравнению для г:
I 2 dR . р dR . * dR „
Т?-Ш + РТГе +Q1T- <5>
Интегрирование последних двух членов даст часть решения в виде Х/+п. ч.,
которая, как мы видим, совпадает с результатом для других элементов,
кроме элемента а, для которого Х = 0. Следовательно, мы можем опустить в
дальнейшем рассмотрение двух последних членов в правой части уравнения
(5).
Рассмотрим теперь первый член в правой части этого уравнения. Величина а
входит в коэффициенты с пС разложения для R, а также в п и тем самым в
аргумент 0, поскольку п = \х'1га~,/». Найдя производную dR/да, мы получим
2т, V* дс 0
г —--------- >, -T-COS0O —
па ^ да 0
2т, Vi дС а I 2/п, dn , vr • о
-Y-r-cosOH • —:— / Y 1C sin 0. (6)
na jLd да 1 na da ’
