Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
/3 = sin ф sin 6, m3 = cos<}» sin 0, rt3 = COS0.
Нам потребуются производные от /,, 12 и т. д. по ф и 0. Эти производные
приводятся в следующей таблице:
1, /я, «1 1, т, я,
/и, -и 0 т2 — h 0
0 0 0 — h — «з — л»
Пусть ?, ?>). С означают координаты точки 5 относительно осей OX', ОУ',
OZ', a XQ, У0, Z0 — ее координаты по отношению к неподвижным
осям ОХ0, ОУ0, OZ0. Тогда, принимая радиус сферы рав-
ным единице, найдем
5 == cos (а + X) cos 8 = /,А'0 + /я,К0 + rt,Z0, (1)
т) s= sin (а -}- X) cos 8 = l2X0 т2У0 n2Z0, (2)
sin 8 = /зА'о —/КдКо —(- rtjZ0, (3)
откуда
*o = ^ + ^ + ^. (4)
>'о = «1?+я12',,) + я13^ (5)
Эти формулы потребуются нам в дальнейшем. Так как Х0, У0, Z0 не зависят
от 0, ф, то из уравнений (1), (2) мы имеем
$=_(« + Х)т) —8?tg6, т) = (а + Х)$ — 8*Tfjtg8,
откуда
Й— ??») = («+ X)coss8, (6)
+'>)'>) = — $ sin 8 cos 8. (7)
Далее, Х0, У0, Z0 — постоянные (мы пренебрегаем здесь собственным
движением звезды). Следовательно, согласно уравнению (1),
5 ~ iiX0-)- т{У0-)- /tiZ0.
Но
/ 011 , . 01\ I
zt“-3f + + -5Г0 и т- д-
§ 20.17. Прецессия по прямому восхождению
475
Поэтому, используя приведенную выше таблицу, а также равенства (4) и (5;,
получаем
I = (т^о — /0К0) <j> = [(/2m, — /jfftj) т) + (/gfftj — /j/Из) С] <j>.
или
$=(— «gKl+TtjOf
Аналогично
71 = — ЬУо) Ф ~ (^3^0 Ч” ШУО 4“ «3Zo) ® = ~ *
Подставляя две последние формулы в уравнения (6) и (7), получаем а = cos
б — X + ф sin б sin (а + X) tg 8 — в cos (а + X) tg 8, (8)
& =^sln6cos(a + X) + 6 sin(a + X). (9)
В этих равенствах можно положить
cosX=l, sinX = X.
Поэтому мы имеем a = ф cos б — X+sinatg8[tysIn6-|-X6]—cos a tg 8 [б' —Хф
sin б]
и
& =cosal<j)sin 6 + X6] + sina[6 — sin 6].
Заменяя <|» и б через <|»т и б0 (так как с очень малб), мы положим
rn = 4>mcos б0 — i, л —t*8ln60+Xb. р — В —X(jimsln6.
Тогда
a = m + «sinatg8— р cos a tg8, (11)
§ =я cosa + /?sina. (12)
Величина р имеет порядок 3- 10-7/, Хб —порядок 6- 10~12/2;
эти
величины можно без ущерба отбросить, и формулы (11) и (12) при-
мут вид
а ==/и+л slnatg8, (13)
8=rtcosa, (14)
где
m==km cos б0 — X, (15)
n=4mSin60. (16)
Если в качестве единицы времени принять год, то а и 1 определяемые
формулами (13) и (14), называются годичной прецессией по прямому
восхождению и годичной прецессией по склонению.
31*
476
Г лава 20. Прецессия и нутация
Если |*в jxe — компоненты годичного собственного движения, то и 5 -f-
jj.6 называются годичными изменениями в прямом восхождении и склонении,
числовые значения которого для отдельной звезды приводятся в Nautical
Almanac и различных каталогах.
Вековое изменение в прямом восхождении определяется как скорость
изменения а за столетие. Если обозначить ее через s, то
ж=*=4т(т ?+" sin “tg 8)-
Поэтому, если Оц — прямое восхождение звезды в момент t0, то t лет спустя
прямое восхождение а определится по формуле
а = “о + * [(“)о
Аналогичная формула имеет место и для склонения. Числовые значения
вековых изменений приводятся во многих каталогах.
§ 20.18. Нутационный эллипс
Выражения для нутации Ф долготы и для нутации 0 наклонения даются
формулами (19) и (20) § 20.13. Члены с аргументом N-f-ty являются
долгопериодическими, а остальные—короткопериодическими. Например, период
члена siп(Л7 -f-ф) в 'Р равен ~ 18'/2 лет, а остальные члены, не
содержащие N, имеют периоды, равные лунному месяцу, году или их долям.
Главные члены мы запишем так:
Х = Е cos (N -j- ty), у = — Dsin(A(-}-ty), (1)
причем первая формула относится к нутации наклонения.
На рис. 34 N0 означает узел среднего экватора в момент t относительно
неподвижной эклиптики для эпохи t0. Узел истинного экватора, для которого
учитывается нутация, обозначен через N. Полюсами среднего и истинного
экваторов служат Q0 и Q соответственно. Пусть QB — перпендикуляр,
опущенный на Z0Q0. Тогда Q0B будет нутацией в наклонности, а угол QZ0Q0
будет нутацией N0N долготы. Поэтому Q0B — x и QB = у sin Z0B или с
достаточной степенью точности QB=ysin0o.
Таким образом, из формул (1) мы видим, что точка Q описывает малый эллипс
Ж+ dj sm2 е0 = 1 ^
с центром в <?0. Этот эллипс называется нутационным эллипсом. Так как cos
0О > cos 20о, то из выражений (17) и (18) § 20.13 для D и Е мы видим, что
Е является большей полуосью эллипса. Вели-
§ 20.19. Численные значения постоянных
477
чина Е называется постоянной нутации. Стрелка на рис. 34 показывает, в
каком направлении Q движется относительно Q0.
Постоянная нутации Е может быть найдена из наблюдений. Мы принимаем ее
равной 9",210.
Согласно равенству (18) § 20.13,
? = -Ts2 + Te2)cos9o- (3)
Так как значения a, s, е, 0О и Е известны, то формула (3) дает нам
возможность найти произведение KL, где К и L определяются формулами (2) и
(3) § 20.08.
§ 20.19. Численные значения постоянных
Мы уже отмечали, что постоянную нутации можно вывести из наблюдений.
Численное значение 9",210 для нее было принято в 1896 г. на Парижской
конференции по астрономическим постоянным, и это значение почти точно
