Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
в формуле (5) с периодом 1 год и амплитудой 0",09 обусловлен
метеорологическими причинами, вызывающими периодические изменения главных
моментов инерции Земли. С другой стороны, напомним, что динамическая
теория основывается на предположении, что Земля является абсолютно
твердым телом. Но фактически Земля не является абсолютно твердым телом,
и, по-видимому, этим объясняется появление в формуле (5) второго
периодического члена с периодом 14 месяцев. Амплитуда этого члена равна
0",18.
Если предположить, что специальные наблюдения, на которые мы ссылаемся,
дают в любой момент времени положение мгновенного полюса I, то мы можем
считать, что все наблюдения могут быть исправлены за изменение широты,
так что нам останется только рассмотреть движение главных осей инерции
Земли, опираясь на
§ 20.12. Выражение U через 0 и ф
463
уравнения движения с силовой функцией U. Решение задачи будет тогда
определяться соответствующими частными интегралами уравнений движения.
§ 20.12. Выражение U через 6 и ф
Для того чтобы выразить U через углы Эйлера и элементы орбит Луны и
Солнца, мы должны, как это видно из формулы (4) § 20.08,
разложить в ряды выражения (у)3(у) • во-первых, для случая
Луны, а во-вторых, для случая Солнца. Мы сделаем это подробно для Луны, а
для Солнца приведем лишь окончательные результаты. Согласно формуле (4) §
20.04,
г =; sin 9 sin ф + sin 0 cos ф + С cos 0, (1)
где Ч> С — координаты Луны относительно неподвижных осей ОХ0, ОУ0. OZ0. В
этой формуле ?, tj и С не зависят от 0 и ф.
На рис. 31 Х0УЬ — неподвижная эклиптика, соответствующая моменту t0, и АЕ
— истинная эклиптика с полюсом в точке К. Изменение положения эклиптики
является результатом возмущений
орбиты Земли планетами. Положение истинной эклиптики по отношению к
неподвижной эклиптике определяется наклонностью I подвижной эклиптики к
неподвижной и долготой 2 восходящего узла А.
Точка М — положение Луны в момент t\ ВСМ — орбита Луны. ВС М. образует
угол с с эклиптикой АСЕ. С — узел орбиты Луны на подвижной эклиптике.
Проведем большие круги Z0MD и КМЕ.
464
Глава 20. Прецессия и нутация
Пусть Х0D = L и DM —В. Тогда
? = pcos?cosB, у) = р sin L cos В, t = psin В.
Поэтому из формулы (1) имеем
— = cos В sin 0 sin (?-[-<[>)-[-sin В cos 0. (2)
Преобразуем правую часть формулы (2) следующим образом.
1) Пусть Х0А -)- АЕ — I и ЕМ = Ь. Тогда в треугольнике KZQM:
KZ0 = /, Z0M = 90э — В, КМ = 90° — Ь,
KZ0M = 90° + L — Q. ZqKM = 90° — (I — 2).
Мы поэтому имеем
sin В = sin b cos / cos b sin / sin (/ — 2), (3)
cos В sin (I — 2) = — sin b sin / cos b cos / sin (I — 2), (4)
cos В cos (L — 2) = cos b cos (I — 2). (5)
2) Пусть XqA AC — N, X0A-\-AC-\-CM = v. Тогда в треугольнике MCE:
MC — v — N, ME = b, CE = l — N,
MCE = c, MEC = 90°.
Поэтому мы имеем
cos (v — N) = cosb cos (I — N). (6)
sin(t> — N) cos с = cos b sin (I — N), (7)
sin(i> — AOsinc = sin0. (8)
3) В формуле (2) вместо L + ф напишем L — 2 + (ф + 2). Тогда — = sin 0
cos (2 + ip) [cos В sin (L — 2)] —
P + sin 0 sin (2+ ip) [cos В cos (I — 2)]-[-cos 0 [sinB[. (9)
Преобразуем выражения, стоящие внутри квадратных скобок, посредством
формул (4), (5) и (3).
Поскольку угол I является очень малым, то можно написать
sin/ = /, cos/ = l.
4) Из формулы (4) мы имеем
cos В sin (I — 2) = —/ sin b cos b sin (/ — 2).
§ 20.12. Выражение U через 0 и \|)
465
Положим I — 2 = (/— N)-\-(N — 2). Тогда при помощи формул <8), (6) и (7)
мы получим
cos В = — 1 sin с sin (v — N) + cos с sin (v — N) cos (N — 2) +
+ cos (v — N) sin (N — 2).
Угол с равен приблизительно 5°,2, так что sine имеет порядок 1/11.
Отбросим члены с множителем /sine и, полагая sin с = s,
сохраним все члены до s3 включительно. Тогда cosc = l—"2 s2*
Методом последовательных приближений мы легко найдем, что
cos В sin (L — 2) = ^1 —j s2jsin(y—2) — -is2sin(®— 2Л/ + 2). (10)
5) Точно таким же способом мы получим
cos В cos (L—2) = ^ 1 —i s2 j cos (v—2) -f- s2 cos (v — 2N -f- 2). (11)
6) Аналогично
sln? = ssln(tt — A/)H-/sin(v — 2). (12)
7) Подставляя выражения (10) — (12) в (9), мы найдем после некоторых
упрощений
у = ^1 —-j s2jsinGsin(i»+t|0 + scosOsin(w—Л/) +
+ / cos 0 sin (v — 2) — -у s2sin6sin(i> — 2Л7 —J- ф). (13)
8) Выведем теперь из (13) выражение для (z/p)2. Отбросим здесь члены с
аргументами (2t> — 2N), (2v — 3N — ф) и (2® — /V-j-ф), коэффициенты
которых имеют по меньшей мере порядок / и s2. Такие члены короткого
периода дают ничтожный результат при интегрировании уравнений, хотя при
строгом решении их нужно было бы сохранить. В результате находим, что
(у)2 = -jS2 + (-j—s2)s,n20—s2) sin2 6 cos (2v + 2ф) —
— -|-s2sin20cos(2A/ + 2i}i) + s(l —s2jsin0cosOcos(A/ + ij») + +
/sin0cos0cos(2 + <()). (14)
9) Выразим теперь (a/p)3 через среднюю аномалию Af ==«/-j-e—ш. С
точностью до членов порядка е2 включительно имеем
(j)3=l +|-e2 + 3ecosAf + |-e2cos2Af. (15)
466
Глава 20. Прецессия и нутация
Далее величина V, входящая в равенство (14), дается формулой
