Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
помощи равенства (2) через а, р, 7, мы будем
§ 20.06. Эйлеровы уравнения вращения твердого тела
455
иметь
б* = Р sin <р — acoscp, (4)
ф sin б = Р cos б —J— a sin <р. (5)
ср = т —ctg- 0 (а sin Р cos <р). (6)
Нам потребуются также формулы, выражающие а, (3, у через
ё, <р и ф. Эти формулы легко получаются из (4), (5) и (3) и
имеют вид
а = ф sin 0 sin <р — 6cos<p, (7)
Р = ф sin 0 cos <р —0 sin <р. (8)
7 = ср — фсовб. (9)
§ 20.06. Эйлеровы уравнения вращения
твердого тела
Мы будем пользоваться уравнениями Лагранжа (§ 8.04). Функция Т дается
формулой (2) § 20.03:
2Г = + + (1)
1) Рассмотрим прежде всего угол Эйлера ср. Мы имеем d IдТ\ дТ _ dU
dt \д$ I d<t df
так что согласно формуле (1) получим
где суммирование распространяется на аналогичные выражения включающие В,
р и С, у.
Из формул (7), (8) и (9) § 20.05 мы имеем
4=4-=о, 4=i. 4—р.
df df df df
д? — П
df ~ * df
Cy-(A-B)a$ = ^. (3)
Поэтому
df
2) Рассмотрим теперь угол Эйлера 0. По аналогии с формулой (2) мы
имеем
V1 л’ да j V1 л Г d / \ 1 dU
456
Глава 20. Прецессия и нутация
Но согласно формуле (9) § 20.05
4 = 0.
Кроме того,
Аналогично находим, что коэффициент при Вф во второй сумме формулы (4)
равен f cos ср. Наконец, принимая во внимание формулу (5) § 20.05,
получаем
Ду .
= ф sin 0 = a sin ср -f- р cos <р.
Таким образом, уравнение (4) примет вид
_ ( Й fiv гле m I ? ___________
дб
— Да cos ср + Bp sin <р + (Л — С) cq sin <р -f- (В — С) p-j cos <р =
-.
(5)
3) Рассмотрим угол Эйлера ф. По аналогии с уравнением (2)
имеем
Y^A + YAl^/*\e*Lt (6)
•*4 <Эф dt у, дф / дф
так как а, р и ] не зависят от ф. Во второй сумме коэффициент при Аа
равен
(sin 0 sin ср) = cos 0sincp(P sin <p — a cos <?) +
+ cos cp (a cos 6 sin <p —|— p cos 9 cos cp + f sin 9) = p cos 0 + у sin
0 cos cp. Аналогично коэффициент при B$ равен
— a cos 0 — т sin 0 sin <p, а коэффициент при Cf равен
— sin 0 (Р sin ср — a cos ср).
Первая сумма равна
.Да sin 0sin<p + S(3 sin 0 cos <p — cos 0.
Последний член этой суммы, согласно уравнению (3), будет равен
— cos 0 (А — В) ap — cos 0 .
Подставляя эти выражения в уравнение (6), мы после деления на sin 0
получаем
Аа sin ср + яр COS ср — (В — С) p-f sin cp + {А — С) ay cos с? =
W , 1 dU
— cte9 o<f + sm 0 • W
§ 20.07. Модифицированные уравнения
457
Решая уравнения (5) и (7) относительно а и (5 и переписывая уравнение
(3), мы получаем следующую группу уравнений:
л‘ /о ?'ч a sin / 0 д(/ . д(/ \ д(/ ,0.
A»-(fl-Op7 = iiHTlcos0-3f + -^r)-cos<p-3r. (8)
об /г» я\ cos? I____п dU , dU \ . . dU
Р ( > = liiiT \ ~ду “1“ “Эф") "1“ sin ® -gg-. (9)
Ст-(А-В)*$ = ^. (10)
§ 20.07. Модифицированные уравнения
Как мы заметили ранее, Земля имеет форму, очень близкую к сжатому
сфероиду, и для наших конечных целей достаточно принять, что моменты
инерции А и В равны друг другу. Выражение для Т поэтому приобретает вид
2Т = +
или, согласно формулам (7), (8) и (9) § 20.05,
2Т — А (02 Н- ф2 sin2 0) Н- С (? — ф cos 0)2. (1)
Обращаясь к формуле (5) § 20.04 для U, мы видим, что U теперь
можно записать в виде
ЗОА1(С-Л) ,
2р5 * •
Далее z определяется формулой (4) § 20.04, которая не содержит <р.
Следовательно,
и из уравнения (10) § 20.06 мы немедленно получаем
7 = <? — ф cos 0 = о», (2)
где ш — постоянная. Этот результат также следует из уравнения Лагранжа
(1) для у.
Остальные уравнения мы можем вывести из уравнений (8) и (9) § 20.06 или
непосредственно из уравнения (1). Применяя последний из этих способов, мы
получим уравнение Лагранжа для ф:
^ [Лфsin2 0 —Ceos 0 (<р —ф cos 0)] = Щ-,
или, используя формулу (2),
Ajisin2 0 -|- 2Л0ф81п 0 cos 0 -|-Cu>0 sin 0 —
--Ccos0(<?—ф cos 0 —|- 6ф sin 9) =
4J8
Глава 20. Прецессия и нутация
Как будет видно в дальнейшем, все величины ф, 0ф, <р являются малыми по
сравнению с шб. Поэтому предыдущее уравнение приводится к виду
о . \ 6U
0— См sin 6 а<|/ * w
С другой стороны, обращаясь к уравнению для 6, мы имеем
М— Л'}2 sin 6 cos 6—C<i4sin0 = -^|p.
Предполагая, что 0 и ф2 являются малыми по сравнению с шф, это уравнение
можно записать в виде
1 М
Со> sin 0 дЬ ’ ^
§ 20.08. Полное выражение силовой функции притяжения Луны и Солнца
Силовая функция в случае Луны при А = В, согласно формуле (5) § 20.04,
равна
3GM (С —А) г*
— 2р5
где г — аппликата Луны относительно главных осей инерции Земли OX, OY,
OZ, Аналогично силовая функция, обусловленная притяжением Солнца, равна
3CS(C— А) г]
2pf ’
где S — масса Солнца, г1 — его аппликата и pj — его геоцентрическое
расстояние. Поэтому полное выражение силовой функции записывается в виде
y = (1)
Если в, и п, — большая полуось орбиты Земли и соответствующее среднее
угловое движение, то с достаточной степенью точности можно написать
GS = л2а®.
Поэтому
3<С~Л) _2„3 , *il
§ 20.09. Порядок величины U/T
459
или, если а означает большую полуось орбиты Луны,
Определим величины К и L следующим образом:
Тогда
(4)
(2)
(3)
Этой формулой мы воспользуемся для преобразования уравнений (3) и (4)
