Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 125

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 140 >> Следующая

вектора скорости точки Р на оси неподвижной системы координат,
совпадающих в момент t с осями OX, OY, OZ. Опустим перпендикуляры РА, РВ,
PC на координатные плоскости и проведем дополнительные линии так, чтобы
получить прямоугольный параллелепипед с параллельными гранями ODCE и
FBPA. Тогда
и = Составляющая скорости Р относительно О,
параллельная оси, совпадающей с ОХ в момент t =
= Составляющая скорости Р относительно А, параллельная ОХ -{--f-
Составляющая скорости А относительно F, параллельная ОХ-(--{-Составляющая
скорости F относительно О, параллельная ОХ.
Первый член правой части равен х, второй есть —у • FA или —fy, так как FA
вращается вокруг OZ с угловой скоростью ^ в направлении РА. Аналогично
третий член равен +(3z. Поэтому мы имеем
и = Х — fy + pz.
Кроме того,
v=’y—az-{-yx, w—'z — p^-j-ay.
29*
452
Глава 20. Прецессия и нутация
Если Р — фиксированная точка внутри твердой Земли, то х = у = г = 0.
Следовательно,
u = $z— v = fx — az, w = ay — фх. (1)
Теперь кинетическую энергию Т, обусловленную вращением тела, нужно
выразить в неподвижных осях, которые, как мы предположим, совпадают в
момент t с OX, OY, OZ. Обозначив через dp элемент массы в точке Р, мы
получим следующую формулу, определяющую кинетическую энергию
2Т = J(«2 + w2 + w2)rfn, или, используя равенства (1),
2Г = / КР* — ТУ)2 + (Iх —az)2 + (“У — Р*)21 dV- =
= / [W+^+P^+JC^ + f^ + y2)]^
При этом члены вида J yz dp, согласно равенствам (2) § 20.02, обращаются
в нуль. Используя формулы (4) § 20.02, мы будем иметь 2Т = Аа?+Bf+Cf.
(2)
§ 20.04. Углы Эйлера
Пусть на рис. 29 ОХ0, OY0, OZ0 суть неподвижные оси с началом в центре О
рассматриваемой сферы, причем основной плоскостью является плоскость
эклиптики в эпоху t0, a Z0 — полюс эклиптики. Положение точки Х0 мы
определим несколько позже. Оси OX, OY, OZ суть главные оси инерции Земли,
причем Z совпадает с северным полюсом. Плоскость большого круга
пересекает плоскость неподвижного большого круга XQYQ в точке N, которая,
таким образом, будет полюсом большого круга Z0ZAB. Положение осей X, Y, Z
относительно неподвижных осей определяется тремя углами б, ср, ф,
называемыми углами Эйлера.
Угол б — это угол между двумя большими кругами XY и XqYq и равен дуге
Z0Z, т. е. угловому расстоянию между полюсами этих больших кругов. Не
давая сейчас точных определений, мы видим, что 6 является наклонностью
эклиптики к плоскости экватора, а N— точка весеннего равноденствия.
Угол ср — это угол NX, измеряемый от N в направлении XY и равный углу
BZY, т. е. углу между большими кругами, полюсами которых являются точки N
и X.
§ 20.04. Углы Эйлера
453
Угол ф— это угол Y0Z0A или дуга У0А, измеряемые от Y0 в направлении Y0A.
Легко видеть, что ф равно углу XqN, измеряемому
в направлении Х0N.
Выведем одно соотношение между углами Эйлера, которое нам потребуется в
дальнейшем. Пусть /3, щ, п3— направляющие косинусы прямой OZ по отношению
к неподвижным осям. Тогда из
соответствующих сферических треугольников легко видеть, что
В формулах (7) и (8) § 20.02 мы обозначим через X, Y, Z координаты центра
Q Луны (рис. 27) относительно главных осей инерции Земли. Сейчас эти
координаты обозначим через х, у, г. Пусть ?, т), С означают координаты
центра Луны относительно неподвижных осей ОХ0, ОК0, OZ0. Тогда
Рис. 29.
/3 = cos ZX о = sin б sin ф, т3 = cos ZY0 = sin б cos ф, п3 = cos ZZ0 —
cos б.
(1)
(2)
(3)
г = 1? + т3ц + п? или, согласно формулам (1) — (3),
z = 5 sin б sin ф -+• т) sin 0 совф С cos 0.
30 У. Смарт
(4)
454
Глава 20. Прецессия и нутация
Это и есть соотношение, которое нам требовалось вывести. Оно будет
использовано в § 20.12.
В новых обозначениях силовая функция, определяемая формулой (8) § 20.02,
запишется в виде
?/ = ip-[( A-B)y*-(C-A)z% (5)
§ 20.06. Выражение угловых скоростей а, р, у через производные углов
Эйлера
В этом параграфе мы выведем соотношения между a, р, 7 и 9, ср, ф.
Рассмотрим сначала движение точки Z (см. рис. 29). Относительно
неподвижных осей, мгновенно совпадающих с подвижными осями OX, OY, OZ,
угловая скорость точки Z складывается из
1) составляющей а вдоль YZ и 2) составляющей р вдоль ZX. Разлагая эту
скорость на составляющие вдоль направления ZA и направления ZQ,
перпендикулярное Z0Z, мы находим:
Р sin ср — acoscp вдоль ZA
и
Pcoscp + asincp вдоль ZQ.
Но эти составляющие угловой скорости точки Z относительно неподвижных
осей, выраженные через углы Эйлера, будут
6 вдоль ZA и ф sin 9 вдоль ZQ.
Поэтому
0 = р sin <р — acoscp (1)
и
ф sin 0 = р cos ср +a sin ср. (2)
Подобным образом рассмотрим движение точки В. Обращаясь к неподвижным
осям, мгновенно совпадающим с OX, OY, OZ, мы
видим, что составляющая угловой скорости точки В вдоль BY равна у.
Угловая скорость точки В, выраженная через углы Эйлера, будет
иметь составляющую ср вдоль BY и составляющую ^sinZ0? или
ф cos 0 вдоль ВХ. Поэтому
ср — ф cos 9 = у. (3)
Полезно составить сводку полученных формул. Выражая ср из формулы (3) при
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed