Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 124

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 140 >> Следующая

27), лежащие в плоскости экватора, несколько
отличны друг от друга. Наименьшая из трех главных осей эллипсоида
направлена по полярной оси OZ. Предположим далее, что
распределение массы Земли является симметричным относительно каждой из
трех осей OX, OY, OZ. Следовательно, точка О будет центром масс Земли.
Отметим, что оси OX, OY, OZ жестко связаны с Землей. Мы будем называть их
главными осями инерции Земли.
Поскольку О — центр масс, то, если dp— элемент массы,
расположенной в точке Р(х, у, г), мы будем иметь
j х dp = j у dp = j z dp = 0,
(1)
448
Глава 20. Прецессия и нутация
где в каждом случае интегрирование производится по всему объему Далее,
согласно сделанным допущениям,
J ху dy = jyz dy = J zx dy = 0 (2)
и
J x3dy = J jc2y dy — f xy2 dy — 0. (3)
Аналогичные равенства справедливы для координат у и z. Обозначим моменты
инерции Земли относительно OX, OY, OZ соответственно через А, В, С и
определим их формулами
А = J (у2 z2) dy, В = f (z2 + x2)dy,
С = f (x2 + y2)dy. <4)
Можно отметить, что С больше А и В.
Пусть на рис. 27 Q — центр Луны. Достаточно предположить, что Луна
является однородным шаром и заменить ее материальной точкой М,
расположенной в точке Q. Потенциал Луны в точке Р тогда будет равен ОМ/Д,
где Л — расстояние PQ. Пусть dU означает элемент силовой функции,
обусловленный притяжением элемента dy, находящегося в точке Р, массой М,
расположенной в точке Q.
Тогда
аи==ама^'
А
Силовая функция U взаимного притяжения Земли и Луны поэтому будет
определяться формулой
?/=0Ж/-х- (5>
Обозначим через ?, т), С координаты точки Р относительно системы
координат с началом в точке О, ось 5 которой совпадает с OQ, а оси tj и С
выбраны произвольно, но так, чтобы система была прямоугольной. Тогда
Д2 = р2 — 25р + г*.
где р = OQ и г = ОР. Так как 5/р и г/р — величины малые, порядка не более
7«о для Луны, а для Солнца значительно меньшие, мы можем написать
1 1/. Щ — г*\-'А
§ 20.02. Силовая функция U
449
Разложим это выражение в ряд по формуле бинома. Тогда с точностью до
четвертой степени Щ (или r/р) равенство (5) примет вид
,1 GM Г s , t , 3;а — г* , 5S3 — 3;г2 , 35?« — 30;аг2 + Зг* \
и Г J “М +7~* I 5?----------------------------1--------v )•
Для удобства перепишем эту формулу в виде
и СМ Г у I Х\ I X 2 | Х3 | Xt~\
и-—[х*+—+2?+ W+W1'
Пусть далее /, т, п означают направляющие косинусы прямой OQ относительно
осей OX, OY, OZ. Тогда
? = /jc + my + nz.
Мы имеем
а) Х0 — f dp = Е,
где Е — масса Земли. Согласно равенствам (1),
б) Х1 = /ы? = /(1х + ту + nz) dp = 0.
Далее
в) X2 = j (3=2 - г2) dp— f [2r2-3(7,2 + С2), dp.
При помощи равенств (4) мы получим
J2r2d\x=: Л + Д + С.
Кроме того, выражение
/ Or' + C2) dp.
— момент инерции Земли относительно оси OQ. Обозначим его через /. Тогда
Х2 = А + В + С — 3/.
Поскольку
Г) /2 + /И2 + Я2 = 1,
то
x3 = f [Ъ(1х-\-ту + nz)2—
— 3 (Zjc + my + яд) (/2+т? + л2) (jc2+у2+z2)] dp..
29 У. Смарт
450
Глава 20. Прецессия и нутация
Согласно равенствам (3), все величины
J jc3 rfp., f x2ydp, J xy2dy.
равны нулю. Поэтому Х3 = 0.
д) Очевидно, интеграл Х4 имеет порядок Еа4, где а — любая полуось Земли.
Соответствующая часть U (скажем, U4) будет иметь порядок
1 Аналогично та часть U2, входящая в U, которая соот-
^ ^ GJW Е I а
ветствует Х2, будет порядка —-—. Таким образом,
имеет порядок (а/p)2, что для Луны численно равно (V63)2, а в случае
Солнца значительно меньшей величине. Эффекты, производимые {/4, настолько
малы, что ими можно пренебречь. Используя все предыдущие результаты, мы
получим
и = ом(^ + .А-+в. + с.-Е.у (6)
Это равенство выполняется строго с точностью до членов порядка (а/р)3.
Выразим теперь U через координаты точки Q относительно главных осей
инерции Земли. Имеем
1 = f Ol2 + C2)dt>.= f (г2 — ?2)ф =
= f I(/2+m2+«2)(*2 + y2 + *2) — (lx + my + nz)2}dp,
что при помощи формул (2) и (4) приводится к виду
/ = А12 + Вт2 + Ся2 = А — (Л — В) т2 + (С — А) я2.
Обозначим координаты точки Q относительно осей OX, OY, OZ через X, У, Z.
Тогда /я—К/p. n = Z/р. Поэтому
U = OM[l+* + C^*+3«-B'r‘^<-C-A)!']. (7,
При использовании уравнений Лагранжа нам потребуются производные вида
dU/dq, где через q обозначена любая из переменных, определяющих положение
главных осей инерции Земли относительно неподвижной системы координат.
Так как р не зависит от этих переменных, то первые два члена не внесут
никакого вклада в производную dU/dq. Следовательно, для нашей цели можно
допустить, что U дается формулой
и = Щ~[(А — В)У2 — (С — A)Z2]. №
§ 20.03. Подвижные оси и кинетическая энергия
451
§ 20.03. Подвижные оси и кинетическая энергия
Пусть на рис. 28 OX, OY, OZ означают главные оси инерции Земли.
Предположим, что за время dt в результате одновременного поворота вокруг
осей OX, OY, OZ с угловыми скоростями а, (3, у соответственно направление
этих осей несколько изменится. Пусть х, у, г—координаты некоторой точки Р
относительно подвижных осей
в некоторый момент /. Пусть, кроме того, и, v, w означают проекции
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed