Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
приводятся) в двух выражениях для (х///2 находятся в согласии друг с
другом.
§ 19.07. Новая форма уравнения движения (е, переменно)
Предположим теперь, что е1=^е'0 — at и что величиной а2 можно пренебречь.
Выберем л и а (рассматриваемые теперь как переменные) так, чтобы
непериодические части в а и Н2 имели тот же
442
Г лава 19. Вековое ускорение Луны
самый вид, что и в § 19.05. Тогда элементы п и а будут
связаны
формулой (6) § 19.06. Заметим, что п — среднее движение в
момент,
соответствующий долготе 6. Для того чтобы удовлетворить уравнениям
движения, когда принимается во внимание переменность ev очевидно, нужно
добавить периодические члены к выражениям и и Я2, определяемым
соответственно формулами (2) и (4) § 19.05. Положим
a = i(l+8v + P1). (1)
где через Р1 обозначены периодические члены в выражении (2) § 19.05 и
Я2 = я2а<( 1 + 28tj + Р0 + Р2), (2)
где Р0 и Р2 означают соответственно непериодические и периодические члены
в выражении (4) § 19.05. В формулах (1) и (2) 8v и 8т) являются
периодическими функциями.
Теперь du/dO будет определяться формулой (1) § 19.06 к которой добавлены
члены
или
Т [~ Т* +8v+pi) - + Т Ж <8v)-
Ниже будет показано, что а и 8v имеют порядок /и2а. Поэтому 8v и Я] в
коэффициенте при а могут быть опущены. Так как du/db требуется найти
лишь с точностью до малых порядка /к2, то
достаточно написать 0 = я. Поэтому дополнительные члены в du/dO
будут
7 Ж (8v) + i [—f + 4 m2a cos‘Pi +
-\-m2a ^б^созбг — -j cos03+-jcos 0jj J. (3)
Вследствие того, что при ех фигурирует малый множитель а и так
как мы пренебрегаем его квадратом, величина ех (=е'0 — at') может
рассматриваться в выражении (3) и в дальнейшем как постоянная.
Аналогично </2и/</02 будет содержать следующие дополнительные члены:
[— m2a(\0e1 sin 02 — 7 sin 93—j— sin 02)]
§ 19.08. Новый вид второго уравнения движения
443
причем первая строка следует из формулы (1) § 19.06, а остальные члены —
из формулы (3) настоящего параграфа. Таким образом, ((Ри/йЬ2) и содержит
следующие дополнительные члены:
Т [ж <8v> + 8v] + [~ 20е> sin 02 + 14 sin 03 - 2 sin 62].
Кроме того, р/Я2 содержит дополнительный член (р/я2а4)(—2Ц) или с
достаточной степенью точности —(2/а)8т|. Другие члены в дифференциальном
уравнении не дают дополнительных членов рассматриваемого порядка. Первое
уравнение движения теперь заменяется следующим уравнением:
jJL (8v) + 8v + (— 20et sin 02 + 14 sin 03 — 2 sin Oj) = — 28t|.
(4)
§ 19.08. Новый вид второго уравнения движения
Аналогично мы найдем теперь (rf/rf0) (Я2), сохраняя в
непериодической части члены до малого порядка m4eta, а в
периодической
части — до малых порядка т2е1 л включительно. Тогда в d(H2)jdb
войдут следующие дополнительные члены:
4а 3421 , .
т*е1 а -\-
пга4 Г 2д . В L я
32
+ от2а (-у- ег cos 02 — cos 03 + j cos 0Х)] + 2я2а4 (8т|).
Кроме того, так как «-4 = а4(1—4 8v), поскольку речь идет о 8v, правая
часть второго дифференциального уравнения (5) § 19.04 будет содержать
следующие дополнительные члены:
12/я2я2а4 8v ^sin 02 + ег sin 03 — ег sin 0Хj.
Второе уравнение теперь запишется в виде 1 Г2я . 4а 3421 ,
тЬг+Т—зГт*1а+
+ от2(Х (тг в1cos 62 — -г cos 63 + т cos ei) + 2 ж № =
= 12m28v^sin02 + -^- ejSinOj — -^-«iSinOij. (1)
Рассмотрим в уравнении (1) сначала периодические члены порядка т2а и
т2лег С достаточной степенью точности можно вместо 0 подставить величину
п и пренебречь правой частью уравнения (1), так как 8v имеет порядок т2а,
444
Глава 19. Вековое ускорение Луны
Тогда мы будем иметь
о 4 /Ъ \ т*а / 15 а 21 а . 3 а \
2 -Je (Ц) = JT (Т е‘ C0S 2-----------4 C0S 0з + 4 C0S 0i) •
откуда, интегрируя, получаем
287» = —•?'(-!r^s,n02 — -Tsin03 + 40i)* (2)
Подставим это выражение для 2 St) в уравнение (4) § 19.07 и положим в
периодических членах р = п2а3 (так как нам потребуются их значения только
до малых порядка /к2 включительно). Тогда это последнее уравнение примет
вид
& \ I Я т2а /95 .а 133 . а | 19 • а \
^р. (8v) + Вт = — е, sin 02 g- sin 93 -f т sin 0j). (3)
Решение этого уравнения записывается в виде
* т2 а /95 -а 133 . а . 19 . а \ /.ч
Вт =-------— ^ -J5- sin 02 — ж sin 03 + 24 sin 0,). (4)
Рассмотрим теперь непериодические члены в уравнении (1) после подстановки
в них выражений Вт) и Вт из формул (2) и (4) и 0 из формулы (3) § 19.05.
После некоторых упрощений найдем
л . 2а 2103 .
И+ — = -32-/»V- (5)
§ 19.09. Вековое ускорение порядка т4
После подстановки в первое дифференциальное уравнение (4) § 19.04 величин
Вт и Вт) оно не будет содержать непериодических членов, зависящих от а.
Следовательно, р/л2а3 сохраняет свой первоначальный вид (6) § 19.06, так
что
1"(даН"11+т“,(,+!<!)+§"‘+-!гг“,4]=
=-М'+!е;)+-&'”,+-!5г”*Ч «)
Далее, mn = nv Поэтому
т л_
т л
(2)
Продифференцируем равенство (1) по / н воспользуемся формулой (2). Тогда
получим
2,i _ Зв 1 /, . 1173 ,\ .
— + — = у * V (3 + -1б- «2) +
I Л о /« I 3 л ? о I 1173 о \
+ Т'т(1 + 2е1 + Тт +^Гте')'
§ 19.09. Вековое ускорение порядка т*
