Всесоюзные олимпиады по физике - Слободецкий И.Ш.
Скачать (прямая ссылка):
При движении вверх по этому же участку горы энергия, потребляемая из
сети, расходуется на нагрев проводов и совершение работы против сил
сопротивления и силы тяжести.
8*
Поэтому
Uq!2 = llR + Fcv + mgvsm a.(5)
Учитывая (2) и (4), можно это уравнение записать так:
U0I = i\r + + Wi,
или
I%rr-U + 2лЛ = 0.
UQ
Найдя из равенства (1) отношение RlU0 и подставив его в последнее
уравнение, получаем:
/1(1-Ч)-Л/. + 2i]/f = 0.(6)
Далее решаем эю квадратное уравнение относительно /2:
I _ h±V - s\
2 2(1-4)
Подставляя сюда численные значения всех величин, находим два возможных
значения для силы тока /а:
/2 = 765 А, /2 - 235 А.
Неоднозначность ответа связана с тем, что одна и та же мощность
потребляется двигателями при двух различных механических нагрузках и
соответственно при двух значениях скорости вращения якоря. С помощью
редукторных передач эта скорость выбирается так, чтобы сила тока,
потребляемого двигателем из сети, была наименьшей из возможных.
Рис. 321
227
Рис. 322
308. Обозначим через х координату центра масс балки по горизонтальной
оси. Начало координат (х = 0) выберем таким образом, чтобы оно совпадало
с центром масс балки, когда он находится посередине между осями
цилиндров.
На балке со стороны цилиндров действуют силы реакции
Nx и N2 и силы трения Fx и
F2 (рис. 322). Сумма проекций сил на вертикальное направление равна нулю:
Nx + N2 - mg = 0,
где т - масса балки. Так как балка в вертикальной плоскости не вращается,
то
+ - ЛУ = 0.
Из этих двух равенств находим:
Nz=mg(j + yj. (1)
Вначале балка проскальзывает относительно цилиндров и поэтому
F = \iNx и F2 = И#2-Запишем уравнение движения
балки:
та = Fx - F2 = р (Nx - N2)=
= -2 pmg -у. (2)
Из этого уравнения следует, что вначале балка движется по гармоническому
закону
х = х0 cos Ш
с частотой
Q = уЩL = 0,5 с-1 и амплитудой
Так, однако, балка будет двигаться до того момента времени tx, когда
абсолютное значение проекции скорости балки
v = -x0Q sin Qt
не станет равным линейной скорости точек обода меньшего цилиндра
Vt = 1ЛГ.
После этого проскальзывание между этим цилиндром и балкой прекратится,
сила трения F2 станет силой трения покоя, уравновешивающей силу Fx, а
балка будет двигаться равномерно со скоростью V = Vx = = 0,5 м/с.
Приравняв \v (tx) \
н vlt найдем значение /х:
т = x0Q sin Q/x,
Координата Хх центра масс балки в этот момент времени равна
Хх = х0 cos Шх = ]/~3 м.
Так как сила по мере приближения центра масс балки к началу координат /-V
увеличи-
228
вается, N2 уменьшается, a F 2^5 ^ l_iiV2, то наступит такой момент, когда
сила F2 достигнет своего максимального значения и затем уже не сможет
уравновешивать силу Ft. Это произойдет при таком значении координаты
центра масс балки, при котором
^"г-макс
т. е. при
N, = N2.
Подставив сюда выражения (1) для Ni и Л72, найдем, что это произойдет при
х = 0, т. е. через время
к = к + - = (т+ 2]/У)с"4,4с
которая
то
равна vv
= XqQ,
Так как
после начала движения балки. Начиная с момента времени t = = t2 балка
будет проскальзывать относительно цилиндров и движение балки будет опять
происходить в соответствии с уравнением (2). Следовательно, это значит,
что балка опять будет двигаться по гармоническому закону с частотой Q.
Новую амплитуду х0 колебаний балки можно найти, зная максимальную
скорость балки,
1 у. .
х° = R = м'
Скорость балки будет всегда меньше линейной скорости обода большого
цилиндра. Поэтому балка всегда будет проскальзывать относительно этого
цилиндра. Будет она в дальнейшем проскальзывать и относительно малого
цилиндра, так как скорость балки будет достигать значения только в момент
прохождения центром масс балки положения равновесия (х = 0).
Следовательно, с момента t2 балка будет совершать гармонические колебания
с частотой Q и амплитудой хо - 1 м. График зависимости координаты центра
масс балки от времени показан на рисунке 323.
309. В отсутствие магнитного поля стержень совершал бы гармонические
колебания около положения равновесия, при котором удлинение пружины Д/0
таково, что сила упругости уравновешена силой тя-
Рис. 323
229
жести:
к • Д/0 = mg,
откуда
Уравнение движения балки запишется так:
mg - k&l = та,
где Д/ - удлинение пружины. Введя обозначение
Д I - Д/g -f" X
(где х - смещение стержня из положения равновесия), получим:
та = -kx. (1)
Это уравнение соответствует гармоническим колебаниям стержня с частотой
(0= ]/1. г т
Рассмотрим теперь, как будет влиять на движение стержня магнитное поле. В
магнитном поле движущийся стержень становится источником ЭДС:
& = evBl.
Эта ЭДС определяет напряжение зарядки конденсатора. Заряд конденсатора
будет равен
q = CS = CevBl.
При изменении скорости v стержня меняется ЭДС § и, следовательно, заряд
конденсатора q. Поэтому по цепи идет ток
/ = = eCBl - = eCBla,
At At
где a - ускорение стержня. При возникновении этого тока на стержень в
магнитном поле действует сила
F = ВЦ = еаВЧ2С.
230
При движении стержня вверх к положению равновесия скорость стержня и,
