Всесоюзные олимпиады по физике - Слободецкий И.Ш.
Скачать (прямая ссылка):
сечении пру-
130
жины одна и та же, т. е. любые равные участки пружины удлиняются при
растяжении на одну и ту же величину.
При движении динамометра с ускорением дело обстоит не так.
Рассмотрим сечение пружины, которое находится на расстоянии х от конца
пружины, прикрепленного к корпусу динамометра (рис. 215). Сила упругости
Тх сообщает ускорение корпусу динамометра и участку пружины длиной х.
Масса этого участка пружины равна
Мг = -х, х L
где М-масса и L-длина всей пружины. Если динамо-
метр движется с ускорением а, то согласно второму закону Ньютона силу
упругости в сечении х можно записать так:
Тх= (М + М-)а. (3)
Так как ускорение динамомет-->
ру сообщает сила F, то
- F - 1 F а~ м + м~ 2 м
Поэтому Т
(4)
-F (1 + --2 I L
(5)
Итак, сила Тх меняется от сечения к сечению вдоль пружины.
Для того чтобы найти удлинение пружины, мысленно разобьем нерастянутую
пружину на одинаковые маленькие участки длиной ДI. На каждом таком
участке можно силу упругости считать постоянной. Пусть таких участков
будет п(п^> 1). Так как .при одной и той же силе упругости деформация п
Рис. 215
соединенных последовательно участков в п раз больше деформации одного
участка, то жесткость одного участка в п раз больше жесткости всей
пружины:
k1 = kn.
Будем отсчитывать участки от конца пружины, прикрепленного к корпусу
динамометра. Удлинение i-го участка равно
М^Т-1=Т-1. fe1 ы
Но, как следует из формулы (51,
= + (' + "">
Поэтому
ML = -F(l +
2kn \ п )
Полное удлинение пружины найдем суммированием удлинений отдельных
участков:
д/ = mit = FZ (Т + -Y
2 kn У п I
Так как sfl + -
представ-
ляет собой сумму членов ариф-
метической прогрессии с 1
ностью прогрессии -, то
раз-
Д/ =
п
F Зя+1
4fe п Но п > 1. Поэтому
• , 3 F
Д/" - --. 4 k
5*
131
Подставив это выражение для AL в формулу (1), найдем показания
динамометра:
t = k- = -F=3H.
4/г 4
170. После того как верхнему шарику сообщили горизонтальную скорость v,
шарики будут вращаться вокруг центра масс системы, который в свою очередь
будет двигаться поступа-
тельно со скоростью и/2. Если нижний шарик сразу же отрывается от стола,
то на систему в целом действует только одна сила -сила тяжести. Она
сообщает системе, а значит, и
нижнему шарику ускорение g. Поэтому, чтобы шарик оторвался от стола,
необходимо, чтобы его центростремительное ускорение было больше g.
В системе координат, движущейся со скоростью центра масс, скорости обоих
шариков по модулю равны и/2, а центростремительное ускорение равно
п _ (у/2)2 _ у2 6*ц 1 .
//2 2/
Шарик оторвется от стола, если
2Г>§'
т. е. при
171. Согласно первому закону термодинамики количество теплоты Q,
сообщенной газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа AU и
совершенной им работы А:
Q = AU + А. (1) Но в данном случае сосуд тепло-
изолирован и Q - 0. Следова
тельно,
Д(/ + Л=0. (2)
Пусть вначале температура газа была 7\, давление рх и объем Vlt а после
того, как поршень освободили и установилось равновесие, параметры газа
приняли значения Т2, р2 и V2, причем V2 = 2Ег (по условию).
Так как внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его
температуре, то ее изменение пропорционально изменению температуры газа:
AU = cvv(TB- Тг), (3)
где cv-молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, v-число молей
газа.
Далее, работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии
деформированной пружины:
А = (4)
где х-смещение поршня.
Выразим величину- через
параметры газа. Так как после установления равновесия поршень находится в
покое, то сила упругости пружины F = kx равна силе давления газа p2S:
kx = p2S, (5)
где S - площадь повер хности поршня.
Давление же газа связано с его температурой уравнением газового
состояния:
p2V2 = vRT2. (6)
Так как объем газа при его расширении увеличился вдвое, а изменение
объема газа равно
132
Sx, то V2 = 2Sx и, следова-
тельно,
2p2Sx = vRT2. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (7), имеем:
или
kx =
kx% =5=
\RT"
vRT,
(8)
Таким образом, работа, совершенная газом, равна
д _ kx2 - V^2 - 2 4
(9)
Подставим это выражение и выражение (3) для ЛU в равенство (2):
cvv(Ti-T1)+±vRTi = 0. Отсюда
Тх
1 +
LA
4 Су
(10)
Следовательно,
Т% < 7\.
Теперь можно найти, как изменится давление газа. Так
как Fx = - V2, то согласно уравнению газового состояния
pib = vRTl. (И)
Разделив это равенство на равенство (6), получим:
1 R'
Е±.
Рг
2-
2 1 +
СУ
или
Рг = -
Pi
i'+H)
Давление тоже уменьшилось.
172. Число молекул, которые за время т проходят через отверстие площадью
S, перпендикулярное оси х, равно
Z = -\vx\ St,
2
где п - число молекул в единице объема, \vx\ - среднее значение модуля
проекции скорости молекулы на ось X.
При этом число молекул в единице объема изменяется на
Ап =
Отсюда
х = 2 -
По условию задачи температура воздуха в спутнике остается неизменной. Как
следует из уравнения Клапейрона - Менделеева, в этом случае давление
пропорционально плотности газа и, следовательно, поэтому числу молекул в
