Всесоюзные олимпиады по физике - Слободецкий И.Ш.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия. Длинная палка будет отклоняться медленнее, чем короткая, так
как ее центр тяжести лежит выше.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим, как зависит время падения
легкого стержня с укрепленным на его конце тяжелым шаром от длины
стержня.
Пусть палка повернулась на угол а (рис. 137). Центр тяжести палки
опустился при этом на высоту
h = I (1 - cos а),
где I - длина палки. По закону сохранения энергии
mv2 ,
- = mgh,
или
mv*
2
mgl (1 -cos а).
Отсюда получаем:
v /2
" ~ 7 у ~
2g (1 - cos а)
т. е. угловая скорость со палки обратно пропорциональна корню квадратному
из длины палки. Значит, длинная палка будет падать дольше, чем короткая.
Поэтому длинную палку удержи-
75
Рис. 137
Рис. 138
Рис. 139
вать в равновесии легче, чем короткую.
35. Для того чтобы сохранять равновесие при езде на велосипеде, нужно
пользоваться следующим правилом: теряя равновесие, т. е. наклоняясь в
какую-нибудь сторону, нужно всегда поворачивать руль в ту же сторону, в
которую падаешь. При езде "без рук" это достигается благодаря тому, что
ось колеса, а благодаря этому и центр масс вилки и колеса велосипеда,
лежит несколько впереди оси руля (рис. 138).
Для того чтобы повернуть "без рук", например, вправо, нужно согнуть
туловище таким образом, чтобы велосипед наклонился вправо. Переднее
колесо вместе с рулем велосипеда повернется по часовой стрелке, и
велосипед повернет направо.
36. Благодаря различной длине нитей, идущих от основной бечевки к углам
змея, последний устойчив относительно вращения около осей 00' и 0Х0[
(рис. 139). Хвост обеспечивает устойчивость змея относительно вращений
около вертикальной оси 020'г
37. При столкновении кубики упруго деформируются и взаимодействуют силами
упругости
Fx=- ES -, (1)
Cl
где Е - модуль Юнга, 5 = а2- площадь грани кубика, а -
длина его ребра. Так как
Fx = -kx
(где k = Еа), то можно считать, что во время столкновения кубики движутся
как пружинные маятники, а время столкновения равно половине периода
колебаний:
<2>
где т - р а3 - масса кубика, р - его плотность. Отсюда
и
Для стальных кубиков с а = 5 см получим (Е = 2,1- 1011 Н/м2,
р = 7,8- Ю3 кг/м3):
/ " 3- 10~5 с.
Записывая выражение ,Т), мы предполагали, что относительная деформация
кубика равна
-, т. е. что деформируется как а
бы весь кубик. Это не всегда справедливо. Деформация распространяется в
кубике • не мгновенно, а со скоростью звука
76
с, равной для стали 6-103 м/с. Поэтому деформация полностью
"охватит" кубик за время т~-.
с
Приведенное решение справедливо, следовательно, если т<<Д. В
рассматриваемом случае т ^ 0,8- 10~6 с, и можно считать, что условие т
выполняется. Если же это условие не выполнено (например, при столкновении
стержней), то вместо а нужно в формуле 1 брать размер области деформации
ct.
38. Диаметр пучка, выходящего из окуляра телескопа, определяется
формулой
d - D-,
F
где F0K - фокусное расстояние окуляра (рис. 140). При F0K - = = 50 мм
получаем: d1 =
= 5 мм; при F0K = F-2 = 100 мм имеем: d2 = 10 мм; наконец, при F0K = F3 =
25 мм диаметр пучка будет равен d3 = 2,5 мм. В первом и третьем случаях в
глаз попадает весь световой поток Ф0, поступающий в объектив, а во втором
случае - лишь поток
М2 = 1Фп.
дении в телескоп). Так как угловое увеличение телескопа Г = F л
(tm) угловой диаметр
то
планеты в первом случае равен ОС] = Г^ао = Юа0, во втором случае а2 =
Г2а0 = 8а0 и в третьем случае а3 = Г3а0 = = 32а0. Площади изображения
планеты будут соответственно равны:
S, = 1 л^л"? = MnFlX,
4
S2 - 16nfra(r)G и S3=256nF%a%.
Учитывая, что освещенность изображения
S
(где Ф - световой поток, попадающий в глаз), имеем:
Ф =
А! 4
Диаметр изображения планеты на сетчатке глаза равен Д.л ¦ а (где Егл -
фокусное расстояние глаза и а - угловой диаметр планеты при ее наблю-
?з фз _1_
-1 wi S3 4
39. При равномерном вращении якоря моменты сил, с которыми магнитное
поле действует на его обмотки, должны быть одинаковыми по абсолютному
значению. Это означает, что одинаковы токи, текущие по обмоткам, и
возбуждаемые в них ЭДС индукции 8. Поэтому
U - 8 8
I
Отсюда
R
8 - U
R
R + r 2 R + r'
Рис. 140
40. Вещество, в котором отсутствует взаимодействие между молекулами,
представляет собой идеальный газ и подчиняется уравнению газового
состояния:
ру = ЪРТ,
Л1
77
или
Подставляя сюда значения величин р = 103 кг/м3, Л1 - 18 • 10~3 кг/моль, R
= 8,31 кг/(моль-/С) и Т = 300К., получим:
р " 1,4-107 Н/м2.
Это давление в 140 раз превышает атмосферное.
41. Рассмотрим математический маятник, частота малых колебаний которого
равна со. Из формулы
находим длину L такого маятника:
При малых колебаниях можно считать, что все точки маятника движутся по
горизонтальным прямым. Пусть амплитуда колебаний груза маятника такова,
что точка А, находящаяся на расстоянии I от груза, колеблется с
амплитудой а.
Колебания маятника, очевидно, не изменятся, если мы сделаем точкой
подвеса маятника точку А и будем поддерживать ее колебания такими, чтобы
