Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
деформаций, представления о главных напряжениях и главных относительных
удлинениях и основная гипотеза
ВВЁДЕНИЕ
19
о том, что главные напряжения в каждой точке упругого тела
пропорциональны соответственным главным удлинениям. Но наряду с упругим
телом Коши рассматривал и неупругое тело и жидкость. В своей основной
работе1), сообщение по которой было сделано ещё в 1822 г., в § 3 Коши
рассматривает движение внутри неупругой среды и вместо проекций смещений
вводит проекции вектора скорости смещения и свою основную гипотезу
формулирует так: главные напряжения в каждой точке пропорциональны
мгновенным главным удлинениям или сжатиям. На основании этой гипотезы
Коши получает дифференциальные уравнения, отличающиеся от современных
уравнений движения вязкой жидкости только отсутствием слагаемого с
давлением. Затем он видоизменяет свою гипотезу, полагая напряжение
состоящим из двух слагаемых, из которых первое считается пропорциональным
мгновенным сжатиям или расширениям, а второе считается зависящим только
от положения точки. Далее, второе слагаемое принимается пропорциональным
скорости объёмного расширения. Вследствие этого получаются
дифференциальные уравнения, сходные с уравнениями движения вязкой
сжимаемой жидкости. Таким образом, Коши, создавая основные понятия теории
упругости, вместе с этим установил и некоторые основные понятия теории
движения вязкой жидкости.
В статье, опубликованной в 1843 г., Сен-Венан2) ссылается на цитированные
выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода
уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений
теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям
сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных
частиц. Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошения и
главных тангенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих
направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида
соотношений: 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных
напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и
пропорциональности касательных напряжений соответственным скоростям
сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой
коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной
неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений
со скоростью объёмного расширения. Из этих соотношений Сен-Венан получает
соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжения. В другой
статье, в том же томе Докладов Парижской Академии наук (стр. 1108-1115)
Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения
!) Cauchy, Sur les equations, qui expriment les conditions d'equilibre,
ou les lois du mouvement interieur d'un corps solide, elastique ou non
elastique, Exercices de Mathdmatique par Cauchy, lll-e Annee, 1828.
2) Sain t-V e n a n t, Note a joindre au memoire sur la dynamique des
flui-des, Comptes Rendus des Seances de L'Acad. des Sc., т. 17, 1843.
2б
ВВЕДЕНИЕ
в канале прямоугольного сечения со свободной поверхностью. Г1рй этом сила
внешнего трения на дне и боковых стенках представляется в виде суммы двух
слагаемых, из которых одно пропорционально первой степени скорости, а
второе - второй степени. Нелинейность граничных условий создаёт
затруднения в удовлетворении условиям. Граничные условия на стенках
удовлетворяются только в ряде точек.
В первой половине XIX в. во Франции наряду с рассмотренными выше
теоретическими исследованиями по основам гидродинамики вязкой жидкости
продолжались и экспериментальные исследования течений жидкости в трубах и
каналах. В частности, под влиянием запросов медицинской практики
Пуазейлем были проведены тщательные опытные исследования течения воды в
узких капиллярных трубках, внутренний диаметр которых менялся от 0,013 до
0,65 мм. Результаты этих исследований были опубликованы в трёх статьях
1), а затем в большом отдельном мемуареа). На основании результатов своих
опытных исследований Пуазейль установил получившую широкое
распространение формулу, согласно которой секундный расход жидкости через
сечение капиллярной трубки прямо, пропорционален перепаду давления на
единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра s). Для коэффициента
пропорциональности Пуазейлем была установлена формула зависимости его от
температуры воды, но не указана связь его с коэффициентом вязкости. Такая
связь позднее была установлена Стоксом на основании теоретического
решения задачи о прямолинейном течении в цилиндрической трубке.
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости получили своё
окончательное обоснование и признание только после работы Стокса 4), в
которой движение частицы раскладывается на поступательное, вращательное,
равномерное расширение или сжатие и движение, обусловленное деформациями
сдвига. Дополнительные к давлению напряжения ставятся в зависимость
