Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
результатов расчёта для частных задач с результатами соответственных
измерений. Последним обстоятельством и следует объяснить тот факт, что
первые попытки введения дополнительных соотношений между неизвестными
функциями в уравнениях (3.16) относятся как раз к наиболее простейшему
случаю осреднённого движения, каковым является прямолинейное движение
между неподвижными параллельными стенками. Закономерности установившегося
турбулентного движения в цилиндрической трубе, как уже было указано выше,
хорошо были изучены экспериментально. Имеется много косвенных оснований к
тому, чтобы считать закономерности установившегося турбулентного движения
между неподвижными стенками достаточно близкими к закономерностям
турбулентного движения в трубе. А раз это так, то естественно было
вначале ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинами
для прямолинейного осреднённого движения между параллельными стенками,
провести соответственные расчёты и затем сравнить результаты этих
расчётов с результатами измерений. По этому пути и развивались некоторые
теории, которые получили название полу эмпирических теорий турбулентности
.
Компоненты тензора пульсационных напряжений (3.11) составлены из проекций
вектора скорости пульсации в одной точке потока. Если ввести в
рассмотрение проекции двух векторов скоростей пульсации в двух точках
потока, то можно образовать из них группу парных произведений и затем их
осреднить по времени. Таким путём мы получим новый тензор, который
получил название тензора моментов связи второго порядка
т. / п
Ф ij - ViVj,
где v'v v'2 и v* - проекции вектора скорости пульсации в одной точке, a
v", v" и v" - проекции вектора скорости пульсации во второй точке.
Аналогичным путём можно составить группу моментов связи между
пульсационными скоростями' третьего порядка
тт ' ' "
П ijk = ViVjVk.
Дифференциальные уравнения турбулентного движения с использованием
моментов связи различных порядков были предложены
45"
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
впервые А. А. Фридманом и Л. В. Келлером 1). С введением моментов связи
увеличивается количество неизвестных функций, и количество
соответственных уравнений и выравнивание числа уравнений с числом
неизвестных функций могут быть произведены с помощью отбрасывания
моментов высших порядков, как это, например, сделано в работе М. Д.
Миллионщикова 2).
Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных
движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом
направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова 8),
А. М. Обухова 4), Л. Г. Лойцянского 5) и др.
В статьях В. Г. Невзглядова 6) была сделана попытка ввести дополнительные
соотношения по аналогии с (3.13) между тензором пульсационных напряжений
и тензором скоростей деформаций от осреднённого движения с той лишь
разницей, что вместо постоянного коэффициента вязкости вводится
переменный коэффициент, турбулентного объёма, зависящий в общем случае от
инвариантов тензора скоростей деформации.
§ 4. Теоремы о рассеянии энергии для турбулентного движения
Внутри области, занятой жидкостью в турбулентном движении, возьмём
конечный объём х с ограничивающей поверхностью S. Для кинетических
энергий полного движения, осреднённого движения и пульсационного движения
жидкости в конечном объёме т будем иметь выражения
2Т = р Ш у**- <4,)
х
2 Тв р = р Ш U2dx, (4.2)
2Гп = р J J J v*dx' (4-3)
х
Подставляя в правую часть (4.1) выражение квадрата скорости в виде V" =
(Ux + иУ + (Uy + v'f + (Uz + w'f
!) Келлер Л. и Фридман A., Proc. I. Intern. Congr. Applied Mech., Delft,
1924.
2) Миллионщиков М. Д., Известия АН СССР, сер. геогр. и геол., № 4-5,
1941.
3) Колмогоров А. Н., ДАН СССР, т. ХХХ11, № 1, 1941; т. XXXI,
№ 6, 1941; т. XXX, № 4_ 1941; т. 52, № g, 1946 и др.
4) Обухов А. М., Прикл. матем. и мех., т. VI, вып. 2-3, 1942;
Механика
в СССР за тридцать лет, Гостехиздат, 1950. Там же приведена библиография
советских работ по турбулентности.
5) Лойцянский Л. Г., Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939.
6) Невзглядов В. Г., ДАН СССР, т. 57, № 3, 1945.
§ 4] ТЕОРЕМЫ О РАССЕЯНИИ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 459 и проводя
затем осреднение по времени, получим:
т. е. осреднённое значение кинетической энергии полного движения жидкости
в конечном объёме равно сумме кинетической энергии осреднённого движения
жидкости и осреднённого значения кинетической энергии пульсационного
движения жидкости в том же объёме.
Элементарная работа массовых сил на перемещениях полного и осреднённого
движения жидкости будет представляться соответственно в виде
Для элементарных работ векторов напряжений, распределённых по поверхности
S, получим следующие выражения:
В § 2 главы III была доказана теорема о рассеянии энергии
где Е - энергия, которая рассеивается в единице объёма в единицу времени
и выражается через напряжения в виде
Разлагая векторы напряжений и скорости в (4.8) на осреднённые и
