Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 147

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 170 >> Следующая

количества движения ((2.13) гл. II) остаются справедливыми. Если к тому
же жидкость считать несжимаемой, то при этой гипотезе дифференциальные
уравнения полного турбулентного движения представляются в виде
dJW- = *F+ Тх(А"-Р"v> + ?+ §i(Л-Р(tm)*0* I
ди , dv , dw г. | (З'О
' J
Вводим теперь операцию осреднения по времени, полагая,
напри-
мер,
At
2
U(x, у, z, t)= V(x, у, z, t) = jf J V(x, у, z, (3;2)
At ~~ 2
Выполняем затем операцию разложения всех входящих в уравнения
(3.1) величин, кроме массовых сил, на осреднённые по времени значения и
пульсации
V(x, у, z, t-\-t') - U{x, у, z, t)-\-V'(x, y*z, I
px{x, у, z, t + t')=px{x, y, z, *)+/?(*. y, u_t + t'). } (3'3)
На.основании определения осреднения (3.2) осреднённые значения как самих
пульсаций величин, так и их произведений на осреднённые значения других
величин будут обращаться в нуль, т. е.
V' = 0, и' = 0, 0, 1
_ ___ _ ¦ " > (3.4)
UXV' = UXV' = 0, и'U = и'U = 0. J
Самый факт использования уравнений (3.1) означает, что все величины
предполагаются непрерывными и дифференцируемыми по всем переменным, а
поэтому можно операции дифференцирования по параметрам в (3.2) выполнять
под знаком интеграла. Иначе говоря, операции дифференцирования по
геометрическим координатам и операция осреднения по времени могут
переставляться. В силу этого будем иметь:
^(Р"У)=А((ЛЧ,
дх дх
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЁН. ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 455
Обе группы полученных уравнений (3.8) и (3.9) в явной форме указывают на
то, что между осреднённым и пульсационным движением несжимаемой жидкости
имеет место сложное взаимодействие. Сопоставляя правую часть первого
уравнения (3.8) с правой частью первого уравнения (3.1), мы видим, что
воздействие пульсационного движения на осреднённое движение жидкости
эквивалентно воздействию дополнительного тензора напряжений, который
получил название тензора пульсационных напряжений. Тензор пульсационных
напряжений состоит из трёх векторов:
-р u'V', -pv'V', -pw'V',
(3.10)
представляющих собой осреднённые по времени векторы потоков количеств
движения (отнесённых к единице площади и к единице времени) от
пульсационного движения жидкости через три взаимно перпендикулярные
площадки, проведённые в произвольной точке внутри объёма с жидкостью.
Если спроектировать векторы (3.10) на оси координат, то тензор
пульсационных напряжений можно представить в виде следующей таблицы
девяти компонент:
(¦Р) =
-ри'и' -pu'v' -pu'w'
¦pv'u' -pv'v' -pv'w'
(3.11)
-pw'u' pw'v'
-pw w ¦
В дифференциальные уравнения (3.8) входят три вектора осреднённого по
времени тензора напряжений рх, ру и pz. Для установления связи этого
тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется
вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором
напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при
турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют
место равенства
ди
dv
Pxx- фх, рт- р -(~ 2|а ,
I о &w
Pzz - ~P +
/dv , du\ (dw , dv\
Pxy Iх \px + rfy J < Руг !X J '
Idu . dw\
^-^[dl + dl)-
(3.12)
Если провести разложение всех величин в (3,12) на осреднённые и
пульсационные значения, а затем провести осреднение (3.12) по времени, то
получим соотношения для осреднённых компонент
456
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
напряжения
: ----р-\- 2(1.
dUx
дх
Руу - Р +
dUy_
dy*. '
Ргг '
~ (dUy
Рху -Р{дх ¦
dU,
ду
- , О диг
-Р + ^17'
Ру*'
dUг . dUb
ду
дг
(3.13)
Составляя разности соответственных равенств (3.12) и (3.13), получим
выражения для компонент пульсаций напряжения
, / I о ди' , / , п dv'
~ р~^~ ^дх' Руу р ~ду'
/ I о dw'
Р+^-д7>
, (dv' . ди'\ , (dw' . dv'\
рсоу-^(д7 ~дУ)' Pvz-V-\-dJ + d7)'
(3.14)
, /ди' . dw'\
р^-^\дГ + ~д7)-
Если спроектировать левую и правую части первого уравнения (3.8) на оси
координат, а затем подставить значения компонент осреднённого напряжения
из (3.13), то получим следующие дифференциальные уравнения осреднённого
движения несжимаемой жидкости:
р (ct+uJ-jf + Uy(tm)*
dy
U'Tf)
дР"
дР3
ху
дРЛ
х дх = PFv
dU"
ду ^z дг
дх
дР"
ду
дг
дР
уу
дР,
У'
ду
дг
'^ж+ихт/+и, w+u*d-?)
др
дР"
ал
дР,
ду
дг
dU"
dUv dUz
(3.15)
где Рхх, Рху
дх 1 ду 1 дг и т. д.-компоненты пульсационных напряжений, пред-
ставленные в явной форме в таблице (3.11).
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕН. ДВИЖЕНИЯ жидкости 457
Дифференциальные уравнения осреднённого движения (3.15) содержат десять
неизвестных функций, к которым, помимо трёх компонент вектора скорости и
давления, относятся и шесть компонент тензора пульсационных напряжений.
Чтобы систему уравнений (3.15) сделать замкнутой, необходимо присоединить
дополнительные соотношения, связывающие неизвестные функции. Такие
дополнительные соотношения можно, конечно, составить только с помощью тех
или иных гипотез, правильность которых в ограниченных пределах может быть
установлена только косвенным путём, например с помощью сравнения
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed