Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
(2.39)
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
449
Если провести осреднение равенства (2.37) в смысле (2.25) и учесть
(2.27), (2.38), (2.39), то получим:
Т ¦Д' [ш J J J ^ dx> dy' dz' + 7$ f У/2а' + Ш f S2 *] +
Д t
M
2
+ J dt' j j j V' (X + x',у + у', z + z', t + t'\ 0,0,0,0) dx' dy' dz'=0.
(2.40)
bt T
2
На основании равенства (2.40) приходим к заключению, что осреднённое по
первому объёму осреднения значение вектора скорости пульсаций во второй
точке может считаться равным нулю тогда, когда все производные от вектора
скорости осреднённого движения, начиная со вторых, равны нулюк На это
обстоятельство и было обращено внимание ещё в основной работе О.
Рейнольдса 1), где перечислены те случаи осреднённых движений, в которых
осреднённое значение вектора скорости пульсаций во второй точке внутри
первого объёма осреднения строго ?авно нулю.
Допустим, что в отношении, например, координаты х векторы скорости
истинного движения и пульсационного движения являются дифференцируемыми
функциями. В этом случае можно обе части равенств (2.31) и (2.34)
разделить на приращение х' и перейти к пределу. Тогда получим два
выражения для первой производной от вектора скорости истинного движения в
центре первого фиксированного объёма осреднения:
ш=т;+ж-
Левые части равенств (2.41) и (2.42) представляют одну и ту же величину.
Различие же правых частей снова указывает на различие величин скоростей
пульсаций в зависимости от того, считается ли осреднённое движение в
пределах фиксированного объёма осреднения одним и тем же или оно
выбирается для каждой точки этого объёма особо. Только при использовании
скользящего объёма осреднения производная по какой-либо координате или
времени от той или иной характеристики потока может быть представлена в
виде суммы производных от осреднённого и пульсационного значения этой
характеристики. Иначе говоря, в этом случае можно производить разложение
той или иной величины на осреднённую и пульсационную под знаком
производной. Вопрос о возможности перестановок операций осреднения и
дифференцирования может ставиться только тогда, когда предполагается, что
не только сами величины, но и их производные также непрерывны.
i) Reynolds О., Phil. Trans, of the Roy. Soc., 1895; русский перевод в
сборнике "Проблемы турбулентности", ОНТИ, 1936. s<y
450
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. XII
При этих дополнительных предположениях можно выполнять дифференцирование
по параметрам под знаками интегралов в равенствах (2.25),
(2.27) и (2.36). Только в этих случаях осреднённое значение
производной от динамической или кинематической характеристики потока
равно нулю строго для центра объёма осреднения и приближённо для другой
точки в этом объёме, т. е.
At
J dt'j f J gg.K dx' dy' dz' ~ 0, (2.43)
At i
' 2
At
/*JJA0.0.0) dld df dz,
_ii x (2.44)
2
Таким образом, результаты осреднения существенно зависят от того, как
производится переход от одного фиксированного четырёхмерного объёма
осреднения к соседнему. При втором описанном выше переходе центры
фиксированных объёмов осреднения могут быть взяты как угодно близко друг
от друга, но зато каждый новый объём будет обязательно налагаться на
предшествующий. Первое обстоятельство обеспечивает сглаживание функций,
т. е. получение непрерывных полей осреднённых величин. Второе же
обстоятельство может сосдавать помехи к применению тех законов механики,
которые относятся к взаимодействию фиксированных частиц среды.
Наконец, следует сделать замечание ещё и относительно самих размеров
фиксированных объёмов осреднения. Если не налагать никаких дополнительных
требований, то размеры четырёхмерных объёмов осреднения могут быть как
угодно большими и как угодно малыми. Если не исключать случаи конечных
разрывов скоростей истинного движения среды в ряде точек фиксированного
четырёхмерного объёма осреднения, то с помощью уменьшения размеров объёма
осреднения значение отношения модуля скорости пульсации в точке разрыва
скоростей-к модулю скорости осреднённого движения можно несколько
уменьшить, но при этом возрастут отношения модулей пульсаций к модулям
скоростей осреднённого движения в точках по соседству с точками разрыва
скоростей истинного движения среды. Таким образом, малость размеров
объёма осреднения ещё не предопределяет собой малость относительных
величин пульсаций, если под последними подразумевать только разность
истинного значения соответственной характеристики потока и её
осреднённого значения в рассматриваемой точке внутри фиксированного
объёма осреднения. Если четырёхмерные объёмы осреднения выбирать не
налагающимися друг на друга, то с помощью уменьшения размеров этого
объёма можно уменьшать отношение модуля разности значений осреднённых
величин в центрах двух примыкающих друг к другу объёмов осреднения к
модулю одной из них. Благодаря этому-обстоятельству, например, дискретное
поле скоростей можно считать достаточно близким к непрерывному полю
скоростей. Если же объёмы осреднения будут налагаться друг на друга, то
