Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
осреднённого движения U можно ввести осреднённое давление р, тензор
осреднённых напряжений
Рх> Ру> Pz равенств:
р (л:, у, z, t рх(х, у, z, t Ру (х, у, z, t рг(х, у, z, t Т(х, у, z,
осреднённую температуру Т с помощью следующих
J J J У' Z~' Х'' ' У'' Z'' ^ dx'dy'dz', ^
4" J J f Px(x' У' z'> x'' y'> z'> t)dx' dy' dz',
^ J J J Ру(уХ< У' Z' X'' y,< Z'' ^ dX'dy'dZ' ' (2-19)
T
-i- [ j* J pz(x, y, z\ x', y', z', t) dx' dy' dz',
T(x, y, z\ x', y', z', t)dx' dy' dz'.
§ 21
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
443
В таком случае под пульсациями давления, тензора напряжений и температуры
следует понимать величины, представляемые в виде следующих разностей:
р'(х, у, г; х', у', г', t) = р(х, у, z; х',у', z', t) - p(x, у, z, t),
Проводя осреднение по объёму всех равенств (2.20) и используя (2.19),
получим:
Наряду с математической операцией осреднения по объёму можно ввести также
формально математическую операцию осреднения по времени. Обозначим
величину фиксированного интервала времени осреднения через \t, и пусть
центр этого интервала времени совпадает с фиксированным произвольным
моментом времени t. Тогда под осреднёнными значениями вектора скорости и,
например, давления в центре объёма с координатами х, у и г необходимо
понимать величины, представленные в виде следующих равенств:
Пульсации вектора скорости и давления по отношению ко времени в
фиксированной точке с координатами х, у и z будут представляться в виде
разностей
Рх (х, у, г; х', у', г', t) = рх (лг, у, z\ х', у', z', t) - рх (х, у, z,
t),
Ру(х,у, г; x',y',z', t)-pu{x,y,z\ х',у',г',t) - py{x,y,z,t), • (2.20)
p'z (лг, у, z\ х', у', z',t) = pz (х, у, z\ х', у', г', t) -pz (х, у, г,
Т(х,у, z\ х',у', z', t) - Т(х, у, z\ х', у', z', t) - Т(х, у, г, ^
(2.21)
Г = 0.
At
V(x, у, z, |* V(x, у, z, t; t')dt
It
(2.22)
V' (х, у, z, t\ t')~V(x, у, z, t; t')-V(x, y, z, t), p'(x, y, z, t; t') =
p(x, y, z, t; t') - p{x, y, z, t).
j (2.23)
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XII
Если провести осреднение по времени равенств (2.23) и учесть (2.22), то
получим:
ht
2
V' = 37 f г, f. t'W = 0. J (2 24)
~2~*
p'= o.
Таким образом, осреднённые no времени значения пульсаций всех
кинематических и динамических характеристик движения среды равны нулю.
Наконец, формально математические операции осреднения по объёму и по
времени можно объединить и под вектором скорости осреднённого движения
частиц в фиксированном объёме кие фиксированном интервале времени At
понимать вектор, представляемый в виде
U(x, у, z, t)=V(x, у, z, t) =
ht
2
= f ^ ( J f ^(х> У> z\ х*> у'" ¦. t\ t/)dx/ dy' dz'. (2*25)
A t ' z
2
Вектор скорости поля пульсаций в какой-либо точке внутри объёма к и в
какой-либо момент времени внутри интервала времени At будет
представляться в виде разности
V'(x, у, z; х', у', z', t\ t') =
= V(at, у, z; x', у', z', t; t') - U(x, y, z, t). (2.26)
Проводя осреднение (2.26) и по объёму и по времени в смысле (2.25), снова
получим, что осреднённое значение вектора скорости поля пульсаций равно
нулю-.
V' (х, у, z; х', у', z', t\ t') =
ht
2
J f J J V'(x> У'z> x'> У'> z'> t')dx'dy'dz'= 0. (2.27) 2
До сих пор мы проводили осреднение самих величин или разностей величин,
отнесённых к одной и той же точке внутри фиксированного объёма и к одному
и тому же моменту времени внутри фиксированного интервала времени.
Покажем теперь, как должно проводиться осреднение произведений двух
величин, отнесённых к одной
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
445
точке и к одному моменту времени. В качестве примера возьмём произведение
проекции вектора скорости на ось х на сам вектор скорости
и(х, у, z\ х', у', z', t\ t')V{x, у, z; х', у', z', t\ t').
Заменяя каждый множитель через сумму его осреднённого значения и
пульсационного значения, получим:
uV=\Ux(x, у, z, t)-\-u'(x, у, z\ х', у', z', t\ t')]Х
XW(x, у, z, t)-\-V'(x, у, z\ x', y', z', t\ t')\. (2.28)
Если провести осреднение левой и правой частей равенства (2.28) по объёму
и по времени в смысле (2.25) и при этом учесть (2.27)> то для
осреднённого значения произведения uV, отнесённого к центру объёма тик
середине интервала времени Дt. получим следующее выражение: :
uV=UJJ+7V'. (2.29)
Обратим внимание на то, что все осреднённые значения должны относиться к
центру фиксированного объёма и к середине фиксированного интервала
времени.
Теперь мы должны уточнить вопрос о выборе фиксированного объёма т и
фиксированного интервала времени At. Можно, например, фиксированный объём
т выбрать с помощью мысленного разбиения конечного объёма, занятого
средой, на меньшие и не накладывающиеся друг на друга объёмы т. Точно так
же фиксированный интервал времени At можно выбрать с помощью деления
конечного промежутка времени на меньшие и не перекрывающие друг друга
интервалы At. При таком выборе фиксированного объёма и фиксированного
интервала времени операция осреднения будет означать переход от
непрерывного отсчёта геометрических координат к дискретному отсчёту
координат точек, совпадающих с центрами фиксированных объёмов, и переход
