Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
а совокупность относительных движений точек системы по отношению к
системе координат, перемещающейся вместе с центром масс поступательно,
как совокупность пульсационных движений отдельных точек системы по
отношению к осреднённому движению системы. При таком толковании
отдельных движений вектор Vq будет представлять собой вектор
скорости пульсационного движения рассматриваемой точки с массой тк. При
этом осреднённое значение вектора скорости пульсационного движения на
основании (2.6) равно нулю. Если операцию осреднения в указанном выше
смысле обозначать чертой сверху, то первое равенство (2.7) и равенство
(2.6) можно представить в виде
Выделим теперь из системы точек подсистему из п1 точек (ni п)• Положение
центра масс этой подсистемы точек по отношению к центру масс всей системы
будет определяться равенством
где г" - радиус-вектор точки подсистемы с началом в центре масс этой же
подсистемы, получим:
Вектор скорости пульсационного движения точки подсистемы можно
представить как сумму вектора скорости пульсационного движения центра
масс подсистемы и вектора скорости вторичного пульсационного движения
рассматриваемой точки по отношению к первичному осреднённому
пульсационному движению подсистемы, т. е.
Для осреднённого значения скорости вторичного пульсационного движения
получим из (2.10) после дифференцирования:
скорости осреднённого движения системы, а вектор V* - вектор
(2.8)
Полагая
//
V
(2.9)
к = п1
2 *л = о.
(2.10)
V
к*
(2.11)
к-Пу
2 mkV'k = 0.
(2.12)
Проводя осреднение равенства (2.11) по массам точек подсистемы, получим:
Vk=V0l, 1
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
441
При сопоставлении равенств (2.8) и (2.13) мы приходим к заключению, что
результат осреднения существенно зависит от того, проводится это
осреднение по всей системе точек или по отдельной подсистеме точек.
Разумеется, операцию разбиения системы на подразделения, содержащие всё
меньшее и меньшее количество материальных точек, можно продолжать и
далее. Следовательно, наряду с первичным пульса-ционным движением точек
системы можно вводить в рассмотрение вторичные пульсационные движения
точек отдельных подсистем всей системы, третичные пульсационные движения
точек дальнейших подразделений подсистем и т. д.
От дискретной системы материальных точек перейдём теперь к сплошной
среде. При этом переходе мы должны ввести в рассмотрение плотность среды
р, элементарный объём dz = dx' dy' dz', где x', у', z' - координаты
элементарного объёма по отношению к системе координат с началом в центре
фиксированного объёма z, координаты центра объёма т по отношению к
инерциальной системе отсчёта х, у и z и операцию суммирования заменить
операцией интегрирования. Выбор объёма z предопределяет выбор координат
его центра х, у, z, но ещё не предопределяет выбора текущих координат х',
у', z', поэтому обе группы координат можно рассматривать как две группы
независимых переменных. Для точек, находящихся внутри объёма z, вектор
истинной скорости необходимо рассматривать как функцию от всех шести
указанных координат, т. е.
V= V(x, у, z] х', у', z', t).
Вектор же скорости осреднённого движения частиц в объёме т будет функцией
от координат центра объёма и времени, т. е.
U = U(x, у, z, t).
Операции осреднения при этом определяются следующим образом: U(x, у, z,
/) =
Ш pV (х, у, z; х', у', z', t)dx'dy'dz'
zsVix, у, z, t) = -l-----------jrj-p-----------------------. (2.14)
J J J pdx' dy' dz'
X
Поле скоростей в объёме z -будет составляться из поля равных скоростей
осреднённого движения и дополнительного поля переменных скоростей,
называемого полем пульсаций. При этом вектор скорости поля пульсаций
определяется как разность вектора истинной скорости и вектора скорости
осреднённого движения, т. е.
У'(х, у, z; х', у', z', t)== У (х, у, г; х', у', г', () - U(x,y, г, t).
(2.15)
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
р'Л, All
Если провести операцию осреднения над обеими частями равенства
(2.15) и использовать (2.14), то получим:
V' = О,
(2.16)
т. е. осреднённое значение вектора скорости поля- пульсаций в
фиксированном объёме т равно нулю.
Операция осреднения (2.14) имеет тот же механический смысл, что и
операция выделения из движения системы материальных точек переносного
движения вместе с центром масс системы, и равенство
(2.16) при этом выполняется строго.
Будем теперь плотность среды считать постоянной в пределах
рассматриваемого объёма т, т. е.
р = р(х, у, z, t). (2.17)
Тогда из операции осреднения (2.14), имеющей определённый механический
смысл, мы получим чисто математическую операцию осреднения по объёму
U (х, у, z, t) == V (х, у, z, t) -
= ~ J [ (* V(x, у, z; х', у', z', t)dx'dy'dz'. (2.18)
Такого рода математическую операцию осреднения по объёму можно теперь
проводить по всем величинам, связанным с каждой точкой объёма осреднения,
и даже по тем соотношениям и уравнениям, которые должны выполняться для
каждой точки в объёме т. Следовательно, наряду с вектором скорости
