Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
играют пока лишь вспомогательную роль. В предшествующих главах было
показано, что отдельные случаи ламинарных течений могут быть изучены с
помощью решения соответственных краевых задач либо на основе точных
уравнений движения вязкой жидкости, либо на основе приближённых
уравнений, полученных из точных с помощью отбрасывания групп отдельных
слагаемых. При этом решения задач включали в себе коэффициент вязкости
жидкости и параметры самой задачи и не содержали в себе какие-либо
произвольные постоянные, за определением которых необходимо было
обращаться к отдельным опытам, воспроизводящим рассматриваемую задачу.
Существующие же теории турбулентности ещё не позволяют отдельные случаи
турбулентных движений изучать с помощью решения краевых задач на основе
каких-либо дифференциальных уравнений.
В теоретических изысканиях по вопросу о турбулентном движении жидкости
можно обнаружить три направления. В работах первого направления
исследование ограничивается только составлением общих дифференциальных
уравнений турбулентного движения и общим указанием возможности уравнять
число уравнений и соотношений с числом неизвестных. В работах второго
направления изучается внутренняя структура турбулентных течений. Наиболее
многочисленны и плодотворны по своим результатам работы третьего
направления, в которых сами теоретические изыскания элементарны и
ограничены весьма частными предположениями, но доведены до конкретных
результатов, согласующихся с результатами измерений при соответственном
выборе значений некоторых постоянных. Благодаря теории подобия введённые
постоянные могут носить в известных рамках универсальный характер, т. е.
результаты решений одной группы задач могут быть перенесены с теми же
значениями постоянных на другие группы при условии выполнения критерия
подобия течений. Работы третьего направления составляют так называемые
полуэмпирические теории турбулент^ ности.
438
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
§ 2. Метод осреднения
Для изучения турбулентного движения жидкости широко используется метод
осреднения не только отдельных кинематических и динамических
характеристик движения, но и ряда уравнений. Напомним некоторые положения
теоретической механики, которые до некоторой степени могут служить
исходными механическими основаниями для использования метода осреднения.
Рассмотрим некоторую систему дискретно расположенных материальных точек.
Положение точки этой системы с массой тк относительно некоторой
инерциальной системы будет определяться радиусом-вектором гк. Радиус-
вектор центра масс С этой системы точек будет представляться в виде
к - п
2тЬГк
'о = пйг-. (2Л)
2
к = 1
где п-число точек. Движение системы точек можно рассматривать как
составное, состоящее из переносного поступательного движе-
ния, совпадающего с движением какой-либо точки, выбранной за полюс О, и
совокупности относительных движений всех отдельных точек системы по
отношению к системе координат, движущейся
поступательно вместе с полюсом, т. е.
Vk = V0+V'k, (2.2)
где Vk - вектор скорости точки с массой тк по отношению к инерциальной
системе, Vo - вектор скорости полюса О по отношению к той же системе
координат и V'-вектор скорости относительного движения рассматриваемой
точки по отношению к системе, движущейся поступательно вместе с полюсом.
Главный вектор количеств движения системы и кинетическая энергия системы
при этом будут представляться в виде
к-п к-п к-п
Q = 2 ткУк - 2 тк~Ь 2 mkVk>
ft = 1 ft = 1 к = 1
к-п
T=^^mkVl=z (2.3)
к = 1
к - п к-п к-п
=у И 2 т*+2 S mkV'k cos (+ 2 ткУ'Ц •
а = 1 к = 1 ft - 1
§ 2]
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
43У
Таким образом, кинетическую энергию движения системы относительно
инерциальной системы отсчёта нельзя составлять как сумму кинетических
энергий отдельных движений системы при произвольном выборе полюса. Но
если за полюс выбрать центр масс системы материальных точек и положить:
Гк = г"+г' (2.4)
где г
к
-радиус-вектор точки с массой тк, с началом его в центре масс, то при
подстановке (2.4) в (2.1) получим:
2 ткгк - 0, (2.5)
к=1
а после дифференцирования по времени (2.5) будем иметь:
к=п
2"Л = 0. (2-6)
к=1
Полученное равенство (2.6) означает, что главный вектор количеств
относительных движений всех точек рассматриваемой системы по
отношению к её центру масс равен нулю. Учитывая (2.6),
получим
из (2.3):
к = п 2
к = 1
(2.7)
к - п
к = п
Т=\У,т1у1 =
к= г
mkVkr
к = 1
1с = 1
Таким образом, при выборе за полюс центра масс системы кинетическую
энергию общего движения системы можно представлять как сумму кинетических
энергий отдельных составляющих движений этой системы.
Приведённые выше положения из теоретической механики можно истолковать
несколько иначе. Операции суммирования в (2.6) и (2.7) можно
рассматривать как операции осреднения по массам точек рассматриваемой
системы. Тогда поступательное переносное движение системы точек со
скоростью Vp можно рассматривать как осреднённое движение системы точек,
