Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
свободных электронов, а -при температуре абсолютного нуля; Ь, с ~7 при
более высоких значениях температуры.
Это выражение пропорционально корню квадратному из энергии. Оно дает
число состояний с заданной ориентацией спина. Число состояний с обеими
ориентациями спина вдвое больше.
Теперь, вычислив число состояний в интервале Е и Е+
+dE, можно найти и число электронов, находящихся в этом энергетическом
интервале при любой температуре. Необходимо лишь умножить выражение
(1.13) на функцию Ферми и на множитель 2 (чтобы учесть обе ориентации
спина). Получающаяся функция для нескольких температур показана на фиг.
1.2. Видно, что при увеличении температуры от абсолютного нуля часть
электронов переходит с уровней, лежащих ниже Ер, в область более высоких
энергий. Легко вычислить результирующее изменение энергии и,
следовательно, вклад свободных электронов в удельную теплоемкость,
согласно статистике Ферми - Дирака.
24
Гл. I. Теория электропроводности
Действительно, как следует из (1.8), интервал энергий, выше которого
функция Ферми F{E) спадает примерно от 1 до '/г (т. е. до своего значения
при E=EF), пропорционален температуре. Следовательно, число электронов,
которые при изменении температуры от абсолютного нуля до Т
перебрасываются с низших уровней на более высокие, будет пропорционально
kT н плотности состояний dN/dE на уровне Ферми. Энергия каждого из этих
электронов увеличивается на величину, пропорциональную kT. Таким образом,
разность между энергией электронов при температуре Т и при абсолютном
нуле равна
Удельная теплоемкость получается отсюда дифференцированием по
температуре; следовательно, она пропорциональна k2T dN/dE. Путем более
подробного расчета можно найти и точное значение этой величины. Мы имеем
')
Очевидно, что это выражение имеет вид (1.14), так как для газа свободных
электронов плотность состояний на уровне Ферми dN/dE пропорциональна
N/EF.
Итак, из статистики Ферми - Дирака следует, что удельная теплоемкость
электронов при низких температурах пропорциональна абсолютной
температуре, а не остается постоянной, как в классической статистике.
Сравнивая формулу (1.15) свыраже-нием для удельной теплоемкости
классического газа 3/2 Л/'ft, можно найти отношение этих двух величин при
низких температурах. Получим
Иными словами, до тех пор пока величина kT мала по сравнению с энергией
Ферми EF (а именно так обстоит дело при всех обычных температурах),
удельная теплоемкость электронов, согласно статистике Ферми - Дирака,
будет гораздо меньше своего классического значения. Таким образом, видно,
что статистика Ферми устраняет трудность, характерную для теории Друде -
Лорентца.
Хотя удельная теплоемкость электронов, согласно теории Ферми - Дирака,
мала, наблюдать ее все же можно. Дело в
(1.14)
Удельная теплоемкость = k2T . (1.15)
? в
п
^ (Ферми - Дирака)
(1.16)
') См. ["], гл. 5.
§ 5. Рассеяние электронов и электрическое сопротивление
25
том, что при очень низких температурах удельная теплоемкость, связанная с
решеткой, пропорциональна Т3. В то же время удельная теплоемкость
электронов, как мы только что видели, пропорциональна Т. В области очень
низких температур, хотя электронная удельная теплоемкость и мала, но
решеточная - еще меньше, и тщательно проведенные измерения позволяют
определить значения электронной удельной теплоемкости. В таком случае
можно воспользоваться выражениями (1.14) или (1.15). В частности,
согласно первому из них, удельная электронная теплоемкость
пропорциональна плотности состояний на уровне Ферми. Можно доказать, что
так же обстоит дело и для электронов в периодическом поле. Как показано в
т. 2, гл. 10, плотность состояний становится очень большой для переходных
элементов, таких, как железо, кобальт и никель. Соответственно следует
ожидать, что у этих элементов удельная теплоемкость электронов будет
особенно велика. Установлению связи электронной теплоемкости с плотностью
состояний было посвящено множество работ; в общем экспериментальные
данные хорошо согласуются с вычисленными значениями плотностей состояний.
Первые серьезные работы по приложению статистики Ферми- Дирака к
актуальным проблемам электронной теории металлов были выполнены
Зоммерфельдом и его сотрудниками в 1928 г. [в]. Названные авторы
исследовали задачу об электронной теплоемкости (их результаты изложены
выше в этой главе), после чего перешли к проблемам электронной
проводимости, термоионной эмиссии и другим вопросам ').
§ 5. Рассеяние электронов и электрическое сопротивление
В предыдущей главе мы видели, как применение методов квантовой механики
(в форме статистики Ферми - Дирака) позволило решить одну из проблем
теории Друде - Лорентца: удалось объяснить малую величину удельной
теплоемкости электронов. Сейчас мы перййдем к другой трудности, связанной
с механизмом электрического сопротивления. Напомним, что здесь оставались
две загадки: почему длина свободного пробега электрона столь велика и
