Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
А ехр (- Л2и2/2й7') dA ^ ^ g^
J А ехр (- A2a>2/2kT) dA о
Теперь мы можем усреднить по А величину
h[A (I, q) К • W(s, I, q)],
входящую в произведение (7.14). Для этой цели умножим функцию Бесселя на
вероятность, определяемую выражением (7.16), и проинтегрируем по А от
нуля до бесконечности. Воспользуемся тождеством ¦
оо
J Лехр( - аА2) Ja{bA)dA
"ехр (-¦?-). (7.17)
J Atxp{-aA2)dA
которое нетрудно доказать, разлагая функцию Бесселя в ряд и интегрируя
почленно. Таким образом получим для среднего зна* чения функции Бесселя
Jo[A(l, q) К • W(s, I, q)] величину
exp
f [К • W(s, 1, q)]2 kT ] . ,
I 2o)2 (l,q) Г (7Л8)
Все выражение (7.14) представляет собой произведение величин
(7.18) со всеми значениями I и q. Следовательно, фактор Дебая-
Уоллера (7.14) можно записать в виде exp(-^Als), где
^ = 5][K-W(S> l, (7.19)
*. ч
Эту величину можно выразить через средний квадрат смещения s-ro атома в
направлении вектора К. Для этого вспомним, что средняя энергия моды (/,
q), равная Угсо2^. q)H2(/, q)]Ср> в силу закона равнораспределения равна
kT. Поэтому можно переписать (7.19) в виде
Ms = { 2 [К ¦ w (s, I, q)]2 [A2 (I, q)]cp. (7.20)
i. q
200
Г л. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских лучей.
Возводя выражение (7.6) в квадрат и усредняя по времени, можно найти
средний квадрат любой компоненты смещения s-ro атома
К (S- ')]ср = т Е [WP (s-1- ч)]2 и2 (*. q)]=P- (7-21)
/. q
Таким образом, окончательно можно переписать (7.20) в виде Ms = j ["2К
(s, 0]ср | К Р = 8л2 [м2. (s, 0]ср - (7-22)
где ик - компонента смещения вдоль вектора К; здесь использовано
соотношение (6.8), (К| = (4я sin 0)/L
Этим завершается простой и строгий вывод формулы Дебая - Уоллера для
температурного фактора в случае классической статистики; мы в сущности
воспроизвели здесь рассуждения Уоллера, содержащиеся в его диссертации.
Из приведенного вывода следует, что в выражение для структурного
множителя кристалла вместо атомного фактора fs, фигурировавшего в
отсутствие тепловых колебаний, необходимо подставить произведение fs на
фактор Дебая - Уоллера ехр(-Ms). Интенсивность рассеянной волны
пропорциональна квадрату структурного множителя; следовательно, в случае
реального кристалла в нее входит фактор ехр(-2MS).
Наши рассуждения справедливы только при высоких температурах. В работах
[16'17] был выполнен аналогичный расчет для низких температур, когда
необходимо пользоваться квантовой теорией. Прежде чем перейти к решению
квантовомеханической задачи, резюмируем то, что мы сделали. Мы начали с
суммы
2 fs ехр {fkx ¦ [г5 + R, + u (s, /)]}
s. i '
и усреднили ^е по времени. В сущности это свелось к тому, что было
использовано разложение (7.11) и оставлены только члены типа (7.14), не
зависящие от времени. Затем с помощью распределения Больцмана мы
выполнили усреднение по различным амплитудам А. В квантовомеханическом
случае следует поступать иначе, поскольку в силу соотношения
неопределенностей невозможно локализовать смещение u(s, t) (s, t) -го
атома или записать его в виде синусоидальной функции времени. Вместо
этого мы должны предположить, что осциллятор находится в определенном
стационарном состоянии, илайти среднее значение интересующей нас величины
(в данном случае exp[tki ¦ u(s,/)]) в указанном стационарном состоянии.
Для этого надо знать волновую функцию названного состояния; в данном
случае она известна, так как мы имеем дело с линейными осцилляторами.
§ 4. Тепловое диффузное, или бриллюэновское, рассеяние
201
Вычислив среднее, предположим, что вероятность нахождения системы в
данном стационарном состоянии пропорциональна ехр(-ElkT), где Е -
соответствующее собственное значение энергии. По этому распределению
необходимо произвести статистическое усреднение. Отт [16] при помощи
изящного метода показал, что двукратное усреднение - квантовомеханическое
и статистическое - можно объединить в математически единый процесс; таким
путем он сумел вычислить интересующую нас величину в общем случае (хотя и
не произвел всех указанных здесь операций). Борн и Саргинсон [17]
выполнили эквивалентный расчет другим способом. Их вычисления показали,
что формула (7.22) справедлива для всех температур, если под [u^(s, /)]ср
понимать величину, полученную с помощью квантовой механики и учитывающую
нулевые колебания. Что касается формулы (7.19), то она, разумеется,
применима лишь при высоких температурах.
§ 4. Тепловое, диффузное, или бриллюэновское рассеяние рентгеновских
лучей
Мы вычислили температурный фактор Дебая - Уоллера, описывающий уменьшение
интенсивности рассеяния рентгеновских лучей под действием тепловых
колебаний решетки. Напомним, что здесь речь идет о рассеянии,
существующем и в отсутствие тешювого движения. Кроме того, представляет
интерес также тепловое диффузное рассеяние. Представляя все сомножители в
выражении (7.9) в виде (7.11), получим в конечном счете ряд по степеням
амплитуды тепловых колебаний Л(/, q). Член наи-низшего порядка (после
