Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
положения равновесия при данном нормальном колебании. Повторяя
рассуждения гл. 6, § 2, находим, что если все смещения u(s, i) равны, то
сумма (7.8) отлична от нуля только тогда, когда вектор ki равен одному из
векторов обратной решетки К; в последнем случае сумма будет равна
произведению структурного множителя на число элементарных ячеек в
основной области N. При учете колебаний, как уже упоминалось, сумма (7.8)
будет отлична от нуля при любом значении вектора ki. Мы по-прежнему будем
пользоваться периодическими граничными условиями, так что необходимо
рассматривать только те значения kt, которые соответствуют волнам,
периодически повторяющимся в каждой из основных областей.
Сумму (7.8) можно переписать в виде
2mjW(s, /, q) i2 = 1 -
(7.7)
s, i '
2 fs exp {ik, ¦ [r, + R, + u (s, i)]},
(7.8)
2 /*exp [ik, • (rs + R,)] П exp (ik, ¦ {Л (/, q) W (s, I, q) X
S,i I. q
X cos [to (i, q) t - q • R, - a (s, i, q)]}). (7.9)
§ 3. Фактор Дебая - Уоллера
197
Рассмотрим один из сомножителей. Его можно записать в виде exp(izcos<p),
где
г-А(1, q)к, ¦ W(s, I, q),
Ф = со (/, q) t - q • R, - a (s, I, q).
Можно показать, что
оо
eiz cos ? = /0 (2) + 2 inJn (z) {ein* + (7.11)
Я-1
Это равенство вытекает из известного интегрального представ-i ления для
функции Бесселя "-го порядка
л 211
/л(г) = J exp[i(zcosq> + mp)]dq>, (7.12)
о
причем по определению
/_"(*) = (-l)n/"(z). (7.13)
Представим каждый сомножитель в (7.9) в виде (7.11) Произ-ведение первых
слагаемых, /o(z), вносит в сумму вклад, равный постоянной-величине,
умноженной на экспоненту ехр [iki ¦ (г"+: + R,-)]. Остальные члены
приводят к произведениям экспонент вида
ехр {± in [ш (/, q) t - q • R, - a (s, I, q)]},
которые, будучи умножены на ехр [tki • (rs+ R")], дают функции с
волновыми векторами, отличными от ki. Как будет показано в следующем
параграфе, именно эти члены приводят к тепловому диффузному
(бриллюэновскому) рассеянию; первые же члены /о(г) приводят к появлению
фактора Дебая - УолЛера. Рассмотрим сначала только их. Очевидно, в
окончательный результат войдет произведение
II^oM(^q)ki-W(sf I, q)], (7.14)
i. ч
умноженное на структурный множитель (6.9). Как уже упоминалось, сумма по
Ri будет отлична от нуля только в том случае, если вектор ki равен одному
из векторов обратной решетки К, что и будет предполагаться в дальнейшем.
Вычислим теперь фактор Дебая - Уоллера (7.14) для kj = К. При этом
необходимо усреднить выражение (7.14) по равновесному статистическому
ансамблю. Мы будем пользоваться
198
Гл. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских луней
классической статистикой, в которой справедлив закон равнораспределения и
усреднение проводится без труда, а затем приведем и результат
квантовомеханического расчета, необходимого в случае низких температур. В
классической'статистике величина A(l, q) ведет себя как амплитуда
классического осциллятора с'частотой ш(/, q). Как известно, вероятность
найти значение этой амплитуды в интервале dA определяется больцма-новским
множителем ехр(-E/kT), где k - постоянная Больц-мана (не путать с
волновым вектором k!), Т - абсолютная температура, Е - энергия
осциллятора. Таким образом, прежде всего необходимо выразить Е через
амплитуду А. Для этой цели достаточно найти среднюю кинетическую энергию
и удвоить ее, поскольку для линейного осциллятора средняя кинетическая
энергия равна средней потенциальной. Вычислим скорость, дифференцируя
вектор смещения (7.Б) по времени, затем, используя ее, найдем
кинетическую энергию и усредним ее по времени. При возведении суммы (7.6)
в квадрат получится двойная сумма, в которую войдут произведения
косинусоидальных множителей. Среднее по времени от квадрата косинуса
равно 7г, а среднее от произведения двух косинусов равно нулю вследствие
различия частот (или произвольных фаз). В результате получаем
Средняя энергия всего кристалла =
= 2 у msA2(l, q)[W(s, I, q)]2 со2 (/, q) =
s, i, 1,4
= q)a2(/, q). (7.15)
Лч
Здесь было использовано равенство (7.7). Таким образом, величину 72co2(/,
q)A2(l, q) можно интерпретировать как энергию моды (/, q).
Теперь нужно определить вероятность нахождения величины А в интервале dA
в условиях теплового равновесия. Вспомним, что в классической статистике
равновеликим областям фазового пространства (т. е. пространства координат
и импульсов частицы) соответствуют равные априорные вероятности. Для
линейного осциллятора область фазового пространства, ограниченная линией
постоянной энергии, представляет собой эллипс, площадь которого
пропорциональна А2. Приращение площади между двумя линиями постоянной
энергии, соответствующими А н А + dA, пропорционально d(A2), т. е. A dA.
Согласно статистике Больцмана и выражению для энергии (7.15), вероятность
нахождения системы в единице площади фазового пространства
пропорциональна ехр(- A2a2/2kT), Таким образом,
§ 3. Фактор Дебая - Уоллера 199
вероятность найти амплитуду в интервале между А и А + dA равна
