Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
этом необходимо выяснить, как тепловые колебания создают волны
диэлектрической проницаемости (в случае рентгеновских лучей) или
электростатического потенциала (в случае электронов) и как при этом
возникает брэгговское рассеяние рентгеновских лучей или электронных волн.
§ 3. Фактор Дебая - Уоллера
Как было показано в гл. 6, § 2, для определения условий брэгговского
рассеяния в произвольном направлении необходимо разложить плотность
заряда в кристалле по плоским волнам. В невозмущенном кристалле будут
распространяться только волны, волновые векторы которых суть векторы
обратной решетки К; при этом структурный множитель Е[см. (6.9)]
определяет амплитуду плоской волны с волновым вектором К. Как было
показано, взяв только одну из этих плоских волн, мы получим рассеянную
волну, удовлетворяющую закону Брэгга. Последний гласит: при рассеянии
электромагнитной волны с волновым вектором к и угловой частотой со на
плоской волне плотности заряда с Волковым вектором К волновой вектор
рассеянной волны составит k + К, а угловая частота ее будет равна
начальной величине ш. Поскольку длина волнового вектора рентгеновских лу-
§ 3. Фактор Дебая - Уоллера
193
чей связана с частотой со соотношением со/ ] к | = с (с - скорость
света), а рассеянная волна обладает угловой частотой со при волновом
векторе к + К, длины векторов к + К и к должны быть одинаковы.
Если в кристалле происходят тепловые колебания, то атомы уже не будут
находиться в прежних невозмущенных положениях и при разложении плотности
заряда в ряд Фурье возникнут новые плоские волны. Как мы вскоре покажем,
их волновые векторы могут быть любыми, но амплитуды будут малы (они
пропорциональны амплитудам тепловых колебаний атомов). Таким образом,
брэгговское рассеяние сможет происходить во всех направлениях, т. е.
возникнет явление, называемое тепловым диффузным рассеянием. Поскольку
диффузное рассеяние отнимает энергию у обычного брэгговского пучка,
интенсивность последнего должна уменьшаться с повышением температуры. Это
уменьшение интенсивности описывается фактором Дебая - Уоллера, упомянутым
в § 1. В настоящем параграфе мы ограничимся вычислением этого фактора,
отложив изучение теплового диффузного рассеяния как такового до
следующего раздела.
Очевидно, нам предстоит модифицировать расчет, выполненный в гл. 6, § 2,
заменяя прежние координаты атомов в выражении (6.9) для структурного
множителя их измененными значениями. Последние получаются, если к
равновесным координатам добавить смещения, рассмотренные в § 2. Для
описания смещений, вызванных тепловыми колебаниями, здесь потребуется
несколько больше обозначений, чем было использовано в § 2. Мы уже
упоминали, что каждому значению q волнового вектора упругой волны
соответствуют 3g нормальных колебаний, где g- число атомов в элементарной
ячейке. Будем нумеровать нормальные колебания индексом /, пробегающим
значения от 1 до 3g, и волновым вектором q, так что частоту нормального
колебания можно представить в йиде и(/, q). При описании смещений атомов
мы будем пользоваться не экспонентами от комплексного аргумента, а
вещественными функциями времени во избежание трудностей при вычислении
квадратов смещений. При этом необходимо иметь в виду, что величина wa(s)
в выражении (7.4), представляющая амплитуду а-й компоненты смещения s-ro
атома, будет, вообще говоря, комплексной, поскольку различные атомы
элементарной ячейки колеблются не только с различными амплитудами, но и в
разных фазах. Положим wa(s)=Wa(s) ехр[-ia(s)], где W'a(s)-
вещественная вели-
чина, а a - фазовая постоянная. Тогда вещественная часть смещения (7.4)
примет вид Wa(s) cos|W - q-Ri - a(s)]. Как и частота со, величины Wa(s) и
a(s) зависят от I и q. Далее, удобно нормировать величины Wa и ввести
свою амплитуду для каждой
13*
196
Г л. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских луней
плоской волны. Таким образом, положим
Это выражение определяет вектор смещения u(s, i) s-ro атома в i-й
элементарной ячейке. Суммирование по I и q производится для нормальных
колебаний. Амплитуда А (I, q) пока произвольна. В дальнейшем, однако,
предполагая, что она соответствует тепловым колебаниям, находим среднее
значение ее квадрата из термодинамических соображений. Величина W(s, I,
q) предполагается нормированной следующим образом:
Здесь суммирование проводится по всем атомам кристалла, ms-масса s-ro
атома в элементарной ячейке, |W(s, I, q|2 - квадрат вектора W. Фаза a(s,
I, q) условием нормировки не определяется; относительные фазы колебаний
различных атомов однозначно находятся из решения уравнений движения
(7.5),однако каждому нормальному колебанию можно приписать еще
произвольную добавочную фазу.
Задача сводится теперь к вычислению суммы
где, как и прежде, вектор г" + R,- описывает невозмущенное положение s-ro
атома в элементарной ячейке, удаленной от начала координат на расстояние,
равное длине вектора R,, au(s, i) есть вектор смещения этого атома из
