Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вырождение снимается полностью, и колебания нельзя разделять на
продольные и поперечные. В отличие от акустических ветвей частоты
остальных 3g -3 мод никогда не обращаются в нуль, а лежат в инфракрасной
области спектра, и эти ветви называются оптическими.
Если кристалл имеет конечные размеры, то, как и в случае энергетических
зон, волны вида (7.4) должны удовлетворять определенным граничным
условиям. Если выбрать периодические граничные условия, то в кристалле
окажутся возможными лишь нормальные колебания с дискретными значениями q.
Как и в случае энергетических зон, эти значения q равномерно распределены
внутри зоны Бриллюэна и число их равно числу элементарных ячеек N в
повторяющейся области кристалла. Таким образом, полное число нормальных
колебаний равно 3Ng в согласии с тем, что было сказано в § 1 (напомним,
что теперь число
§ 2. Тепловые колебания кристалла
193
атомов в повторяющейся области равно Ng). В теории теплоемкости каждому
из этих нормальных колебаний сопоставляется идеальный линейный
осциллятор, обладающий при высоких температурах средней энергией kT, где
k - постоянная Больцмана, а Т - абсолютная температура. Это приводит к
теплоемкости, равной 3Ngk, что совпадает с известным законом Дюлонга и
Пти. При низких температурах для определения колебательной энергии
каждого осциллятора следует пользоваться квантовой теорией; при этом
средняя энергия осциллятора будет описываться формулой (7.1), где v -
частота осциллятора; Это приведет нас к теории теплоемкости, построенной
Борном и Карманом.
Исследованию колебаний кристаллической решетки посвящена обширная
литература. Однако большинство работ основано на в"есьма произвольных
допущениях относительно коэффициентов Cab(s, t, Ru). Вместе с тем
последние фактически представляют собой независимые микроскопические
упругие постоянные, удовлетворяющие, как уже упоминалось, определенным
соотношениям, обусловленным симметрией кристалла. Строго говоря, этих
констант бесконечно много. Однако есть основания полагать, что их
величина быстро убывает до нуля при удалении двух рассматриваемых атомов
друг от друга; поэтому практически необходимо знать лишь небольшое число
констант. Экспериментальное определение последних проводится главным
образом путем исследования теплового диффузного рассеяния рентгеновских
лучей или неупругого рассеяния нейтронов; эти явления будут рассмотрены
ниже. Макроскопические упругие постоянные можно определить как линейные
комбинации коэффициентов С. Действительно, в предельном случае- низких
частот колебания решетки переходят в обычные звуковые колебания, которые
можно описывать с помощью классической теории упругости. Многие
исследователи пытались идти обратным путем, выражая коэффициенты С через
макроскопические упругие постоянные и вводя их затем в уравнение (7.5)
для определения частот колебаний. Это, однако, принципиально невозможно,
поскольку число макроскопических упругих постоянных очень мало, а
количество коэффициентов С теоретически бесконечно. Если отказаться от
полностью априорных расчетов, то единственно правильный путь состоит, по-
видимому, в экспериментальном определении коэффициентов С с помощью
теплового диффузного рассеяния рентгеновских лучей или рассеяния
нейтронов с последующим вычислением макроскопических упругих постоянных.
Последнее позволило бы проверить правильность найденных значений. В тех
случаях, когда такие вычисления были проделаны, они привели к
удовлетворительному согласию с опытом.
13 Дж. Слэтер
194 Г л. 7. Колебания решетки и рассеяние рентгеновских лучей
Как уже упоминалось, в теории упругих колебаний предполагается наличие
только линейных возвращающих сил. Фактически эти линейные выражения
представляют собой, конечно, лишь первые члены в разложении сил по
степеням смещений. Члены более высокого порядка описывают взаимодействие
между различными волнами, вследствие которого последние уже не могут
распространяться независимо. Другими словами, одна упругая волна может
рассеиваться на другой. При этом возникает задача о брэгговском отражении
одной упругой волны от другой. (Разумеется, любую из двух
взаимодействующих волн можно рассматривать как претерпевающую отражение.)
Это взаимное рассеяние тепловых волн играет важную роль в теории
теплопроводности. Действительно, тепло распространяется в теле в виде
упругих волн. Они рассеиваются другими тепловыми волнами, в результате
чего и возникает тепловое сопротивление. Эта идея лежит в основе
известной теории теплопроводности Пайерлса [15]. В применении к реальным
кристаллам эта проблема еще не рассмотрена с должной полнотой. Более
подробное изложение теории упругих колебаний можно найти в монографии
Займана [14], где дается современная трактовка вопроса.
Этих сведений из теории тепловых колебаний решетки достаточно для
понимания дальнейшего. Мы предполагаем теперь перейти к задаче о влиянии
колебаний решетки на рассеяние рентгеновских лучей или электронов. При
